Was bedeutet es zu sagen, dass ein Ereignis „irgendwann passiert“?

Betrachten Sie eine eindimensionale Zufallsbewegung auf den ganzen Zahlen mit dem Anfangszustand : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

wobei die Inkremente IID sind, so dass . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

Man kann beweisen, dass (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

wobei der Index die Anfangsposition bezeichnet.

Sei die erste Durchgangszeit für den Zustand . Mit anderen Worten, . Man kann auch beweisen, dass (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Beide Beweise finden Sie unter http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Durch das Lesen des Artikels verstehe ich beide Beweise.

Meine Frage ist jedoch, was die Bedeutung von "schließlich" in der ersten Aussage sowie im Allgemeinen ist. Wenn etwas "irgendwann" passiert, muss es nicht in endlicher Zeit geschehen, oder? Wenn ja, was ist wirklich der Unterschied zwischen etwas, was nicht passiert, und etwas, das nicht "irgendwann" passiert? Aussagen (1) und (2) widersprechen sich in gewissem Sinne mir. Gibt es noch andere Beispiele dafür?

BEARBEITEN

Ich möchte nur eine Motivation für die Frage hinzufügen, dh ein einfaches Beispiel für etwas, das "irgendwann" passiert, aber mit endlich zu erwartender Wartezeit.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Daher wissen wir, dass der Läufer "irgendwann" nach links wandern wird und die erwartete Wartezeit davor (dh nach links) . $1/(1/2)=2$

Etwas zu sehen, was "irgendwann" passiert, aber mit unendlich erwarteter "Wartezeit", war eine ziemliche Anstrengung für meine Vorstellungskraft. Die zweite Hälfte von @ whubers Antwort ist ein weiteres gutes Beispiel.

probability terminology stochastic-processes randomness random-walk Ye Tian
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Nein bedeutet schließlich in endlicher Zeit. Genau das wird kontrastiert: P ist endlich, während die Erwartung von Tau unendlich ist

seanv507

Nun, es gibt das kanonische Beispiel der Cauchy-Distribution en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

Seanv507

@ seanv507 - Ja, obwohl der Mittelwert der Cauchy-Verteilung undefiniert und nicht unendlich ist (ein Stichprobenmittelwert aus der Cauchy-Datenbank springt herum, wenn unendlich geht und nicht stetig gegen + unendlich konvergiert). Ich dachte an die Pareto-Verteilung ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), die Mittelwert = Unendlichkeit hat, wenn ihr Formparameter und dennoch eine genau definierte Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion hat.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

RobertF

@ RobertF danke - ich hätte sagen sollen, Pareto

Seanv507

All dies bietet ein gewisses Maß an Komfort: Wenn , dann ist , aber nicht umgekehrt.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

Alex R.

Antworten:

Wie würden Sie ein Ereignis demonstrieren, das "irgendwann passiert"? Sie würden ein Gedankenexperiment mit einem hypothetischen Gegner durchführen. Ihr Gegner kann Sie mit einer beliebigen positiven Zahl herausfordern .Wenn Sie ein (was höchstwahrscheinlich von abhängt ), für das die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis zum Zeitpunkt eintritt, mindestens beträgt , dann gewinnen Sie. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

In diesem Beispiel ist " " eine irreführende Schreibweise, da Sie damit sowohl einen Zustand eines Zufallsrundgangs als auch den gesamten Zufallsrundgang selbst bezeichnen. Lassen Sie uns darauf achten, den Unterschied zu erkennen. "Erreicht irgendwann" bezieht sich auf eine Teilmenge der Menge aller zufälligen Wanderungen . Jeder Gang hat unendlich viele Stufen. Der Wert von zum Zeitpunkt ist . " erreicht Zeitpunkt " bezieht sich auf die Teilmenge von von Wanderungen, die zum Zeitpunkt den Zustand erreicht haben $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . Genau genommen ist es das Set

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

In Ihrer Antwort auf den imaginären Gegner zeigen Sie einige mit der Eigenschaft, dass $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Da beliebig ist, stehen Ihnen alle Elemente der Menge zur Verfügung $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Denken Sie daran, dass genau dann vorhanden ist, wenn es ein endliches für das gilt Unendlich viele, die an dieser Vereinigung beteiligt sind.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Ihre Fähigkeit, das Spiel zu gewinnen, zeigt, dass diese Vereinigung mit einer Wahrscheinlichkeit größer ist als alle Werte der Form , egal wie klein mag. Folglich ist diese Wahrscheinlichkeit mindestens entspricht daher . Dann haben Sie es bewiesen $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Eine einfache Möglichkeit, den Unterschied zwischen "schließlich geschehen" und einer unendlichen erwarteten ersten Durchgangszeit zu erkennen, besteht darin, eine einfachere Situation zu betrachten. Für jede natürliche Zahl sei die Folge $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

in denen Nullen von einer endlosen Folge von Einsen gefolgt werden. Mit anderen Worten, dies sind die Spaziergänge, die am Ursprung bleiben und zu einem (endlichen) Zeitpunkt zum Punkt übergehen und dann für immer dort bleiben. $n$ $1$

Sei die Menge all dieser mit der diskreten Sigmaalgebra. Ordnen Sie über ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Dies wurde entwickelt , um die Möglichkeit des Springens zu machen von der Zeit gleich zu , die offensichtlich nähert sich beliebig nahe an . Sie werden das Spiel gewinnen. Der Sprung passiert irgendwann und wenn, wird es irgendwann endlich sein. Die erwartete Zeit , zu der dies geschieht, ist jedoch die Summe der Überlebensfunktion (die die Wahrscheinlichkeit angibt, zum Zeitpunkt nicht gesprungen zu sein ). $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

was divergiert. Das liegt daran, dass es relativ wahrscheinlich ist, lange vor dem Springen zu warten.

whuber
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Verstehe ich das falsch, wenn ich Ihren ersten Abschnitt so lese, dass er sich auf ein Epsilon / Delta-Argument zusammensetzt, und damit im Grunde nur sage (wobei die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nach Schritten ist)? ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

jpmc26

@jpm Es geht nicht nur darum, sondern es ist ein Epsilon-Delta-Argument. In diesem Fall ist "Delta" " " und "Epsilon" wird " " geschrieben, um daran zu erinnern, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeit handelt. Der Schwerpunkt liegt hier auf der Endlichkeit von : Grenzen werden als endliche Werte und endliche Operationen definiert, nicht als unendliche.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

Whuber

Ich danke einem anonymen Benutzer, der die Verwendung von underbracein der Beschreibung von .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

Whuber

Dass irgendwann etwas passiert, bedeutet, dass es irgendwann passiert, aber es gibt eine Konnotation, dass man sich nicht auf einen bestimmten festgelegten Zeitpunkt bezieht, vor dem es passiert. Wenn Sie sagen, dass innerhalb von drei Wochen etwas passieren wird, ist das eine stärkere Aussage, als dass es irgendwann passieren wird. Dass es irgendwann passieren wird, gibt keine Zeit an, wie "drei Wochen" oder "dreißig Milliarden Jahre" oder "eine Minute".

Michael Hardy
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