Wie man Zellen einer 2x2-Tabelle in Bezug auf Phi-Koeffizienten und Grenzwahrscheinlichkeiten ausdrückt

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Betrachten Sie eine typische 2x2-Frequenztabelle (in diesem Bild gezeigt): Notation: Die Zeilenvariable wird mit R bezeichnet und nimmt die Werte 0 oder 1 an; Die Spaltenvariable wird mit C bezeichnet und nimmt die Werte 0 oder 1 an. Die Zellen der Tabelle geben die Häufigkeit jeder Kombination von R und C an. Zum Beispiel ist b die Frequenz von R = 0 und C = 1. Für die Zwecke meiner Frage wird angenommen, dass die Zellzahlen durch die Summe geteilt werden, so dass die Zellwerte die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten der Zellen sind .
zwei mal zwei Tisch
b

Ich möchte die Zellwahrscheinlichkeiten in Form des Phi-Koeffizienten (der ein Maß für die Korrelation mit der unten angegebenen Formel ist) und der Grenzwahrscheinlichkeiten ausdrücken : μRp(R=1)=c+d undμCp(C=1)=b+d . Das heißt, ich möchte das folgende System von vier Gleichungen invertieren:

(by defn)ϕ(adbc)/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)(by defn)μR=c+d(by defn)μC=b+d(constraint)1=a+b+c+d
und natürlich0a,b,c,d1. Mit anderen Worten,ich möchte nacha,b,cunddin Form vonϕ,μR und auflösenμC.

Dieses Problem wurde wahrscheinlich schon von jemandem gelöst, aber meine Suche hat keine Quelle ergeben, und meine schwachen Algebraversuche haben keine Antwort geliefert, und ich kann keine Online-Wechselrichter mit (nichtlinearen) Gleichungen finden, die diesen Fall behandeln .

John K. Kruschke
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Antworten:

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ϕa+b=1μRa+c=1μC

Δ=adbc=ϕμR(1μR)μC(1μC).

d

d=(1)d=(a+b+c+d)d=ad+bd+cd+d2=ad+(bc+bc)+bd+cd+d2=(adbc)+(c+d)(b+d)=Δ+μRμC.

abcabcdμC1μCΔ

c=Δ+μR(1μC).

acbdμR1μRΔ

b=Δ+(1μR)μC.

Das Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt

a=Δ+(1μR)(1μC).

a,b,c,da+b+c+d=1,c+d=μR,b+d=μCadbc=Δ

whuber
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Ein Hinweis für andere, die diese (richtige!) Antwort verwenden könnten: Sie kann negative Werte von a, b, c oder d ergeben. Mit anderen Worten, nicht alle Kombinationen von Phi in [-1,1], mu_R in [0,1] und mu_C in [0,1] können durch Wahrscheinlichkeitsmatrizen erzeugt werden. An whuber: Danke!
John K. Kruschke
μRμCϕμRμC[0,1]Δ
[min(μRμC,(1μR)(1μC)), min(μR(1μC),(1μR)μC)].