Einfacherer Weg, um

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Betrachten Sie 3 iid-Proben, die aus der Gleichverteilung , wobei ein Parameter ist. Ich möchte wobei die Ordnungsstatistik .θ E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ]u(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

Ich würde erwarten, dass das Ergebnis Aber der einzige Weg, dieses Ergebnis zu zeigen, scheint auch zu sein langwierig, ich kann keine einfache Lösung finden, vermisse ich etwas, gibt es eine Abkürzung?

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2

Was ich mache ist folgendes:

  • Ich finde die bedingte Dichte

    f(x(2)|x(1),x(3))=f(x(1),x(2),x(3))f(x(1),x(3))
  • Ich integriere

E[X(2)|X(1),X(3)]=xf(x|x(1),x(3))dx

Einzelheiten:

Ich übernehme eine allgemeine Formel für die Statistik der Ordnungsdichte (mit als Indikator für Menge ) A.I{A}A

fx(1),,x(n)(x1,,xn)=n!i=1nfx(xi)I{x(1)x(2)x(n)}(x1,,xn)

für meinen Fall zu erhalten

fx(1),x(2),x(3)(x1,x2,x3)=3!1θ3I{x1x2xn}(x1,,x3)

Rand von istfx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

das ist

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

dafür

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

was gibt

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2
Sie
quelle
Ich habe nicht auf das geschaut, was du getan hast, aber du hast eine Antwort von , nicht von u+vuv2u+v2
Mark L. Stone
@ MarkL.Stone du hast recht ... Ich habe behoben, dass die letzte Zeile, Integral von falsch war. xdx
Sie

Antworten:

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Da alle eine gleichmäßige Verteilung haben, werden alle (ungeordneten) Variablen als unabhängig angenommen, und es liegt keine andere Ordnungsstatistik zwischen und . hat eine abgeschnittene gleichmäßige Verteilung unterstützt im Intervall . Sein Mittelwert ist offensichtlich , QED.X ( 1 ) X ( 3 ) X ( 2 ) [ X ( 1 ) , X ( 3 ) ] ( X ( 1 ) + X ( 3 ) ) / 2XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


Wenn Sie eine formale Demonstration wünschen , beachten Sie, dass, wenn die mit einer absolut kontinuierlichen Verteilung iid sind , die bedingte Dichte von (abhängig von allen anderen Ordnungsstatistiken) , das ist die abgeschnittene Verteilung. (Wenn , wird als , und wenn , wird als .) Dies folgt aus dem gemeinsamen PDF der Ordnungsfunktionen Statistik zum Beispiel zusammen mit der Definition von bedingten Dichten. F X ( k ) d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) k = 1 F ( x 0 ) 0 k = n F ( x n + 1 ) 1XiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1

whuber
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Wenn Sie schreiben , beziehen Sie sich auf die Wahrscheinlichkeitsdichte von X, habe ich Recht? dF(xk)
Sie
1
Ja, das ist richtig. Per Definition ist (Technisch hätte ich dies eher das "Wahrscheinlichkeitselement" als die "Dichte" nennen sollen.)
dF(x)=dFdx(x)dx.
whuber