Beschreiben unabhängig und zufällig in der Statistik die gleichen Merkmale? Was ist der Unterschied zwischen ihnen? Wir stoßen oft auf die Beschreibung "zwei unabhängige Zufallsvariablen" oder "Zufallsstichproben". Ich frage mich, was genau der Unterschied zwischen ihnen ist. Kann jemand dies erklären und einige Beispiele geben? Zum Beispiel nicht unabhängiger, aber zufälliger Prozess?
distributions
sampling
randomness
Tiantianchen
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Antworten:
Ich werde versuchen, es in nicht-technischen Begriffen zu erklären: Eine Zufallsvariable beschreibt das Ergebnis eines Experiments; Sie können nicht im Voraus wissen, wie das genaue Ergebnis aussehen wird, aber Sie haben einige Informationen: Sie wissen, welche Ergebnisse möglich sind, und Sie wissen für jedes Ergebnis, mit welcher Wahrscheinlichkeit.
Wenn Sie zum Beispiel eine faire Münze werfen, wissen Sie nicht im Voraus, ob Sie Kopf oder Schwanz bekommen, aber Sie wissen, dass dies die möglichen Ergebnisse sind und dass jedes 50% Eintrittswahrscheinlichkeit hat.
Um die Unabhängigkeit zu erklären, muss man zwei schöne Münzen werfen. Nachdem Sie die erste Münze geworfen haben, wissen Sie, dass für den zweiten Wurf die Wahrscheinlichkeit des Kopfes immer noch 50% und für den Schwanz ebenfalls 50% beträgt. Wenn der erste Wurf keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten des zweiten hat, sind beide Würfe unabhängig. Wenn der erste Wurf einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Wurfs hat, sind sie abhängig.
Ein Beispiel für abhängige Würfe ist das Zusammenkleben der beiden Münzen.
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Zufällige bezieht sich auf Zufallsvariable und unabhängig bezieht sich auf Wahrscheinlichkeits Unabhängigkeit. Mit Unabhängigkeit meinen wir, dass die Beobachtung einer Variablen nichts über die andere aussagt, oder formeller ausgedrückt, wenn und Y zwei Zufallsvariablen sind, dann sagen wir, dass sie unabhängig sind, wennX Y
Außerdem
und ihre Kovarianz ist Null. Die Zufallsvariable ist abhängig von X, wenn sie als Funktion von X geschrieben werden kannY X X
Also in diesem Fall ist zufällig und abhängig auf X .Y. X
Prozess "nicht unabhängig" zu nennen, ist ziemlich irreführend - unabhängig von was? Ich vermute, Sie meinten, dass es einige unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen gibt (überprüfen Sie hier oder hier ), die von einem Prozess stammen. Mit unabhängig meinen wir hier, dass sie unabhängig voneinander sind. Es gibt Prozesse, die abhängige Zufallsvariablen erzeugen, zX1, … ,Xk
wobei ein zufälliges Rauschen ist. In einem solchen Fall ist X i natürlich abhängig von X i - 1 , aber es ist auch zufällig.ε Xich Xi - 1
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Variablen werden in allen Bereichen der Mathematik verwendet. Die Definitionen für Unabhängigkeit und Zufälligkeit einer Variablen gelten einseitig für alle Formen der Mathematik, nicht nur für die Statistik.
Beispielsweise stellen die X- und Y-Achsen in der zweidimensionalen euklidischen Geometrie unabhängige Variablen dar, deren Werte werden jedoch (normalerweise) nicht zufällig zugewiesen.
Zwei gegebene Variablen können zufällig oder unabhängig (voneinander) oder beide oder keine sein. Die Statistik konzentriert sich in der Regel auf die Zufälligkeit (genauer gesagt auf die Wahrscheinlichkeit). Ob zwei Variablen unabhängig sind oder nicht, kann viele Auswirkungen auf die Wahrscheinlichkeiten der beobachteten Ergebnisse haben.
Beim Studium der Statistik werden diese beiden Eigenschaften (Unabhängigkeit und Zufälligkeit) in der Regel zusammen beschrieben, da beide wichtig zu wissen sind und die Antwort auf die jeweilige Frage beeinflussen können. Diese Eigenschaften sind jedoch kein Synonym und treten in anderen Bereichen der Mathematik nicht unbedingt zusammen auf.
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Der Begriff der Unabhängigkeit ist relativ, während Sie selbst zufällig sein können. In Ihrem Beispiel haben Sie "zwei unabhängige Zufallsvariablen" und müssen nicht über mehrere "Zufallsstichproben" sprechen.
Wenn man zwei Würfel parallel wirft (ohne Wechselwirkungen zwischen ihnen), sind ihre jeweiligen Sequenzen zufällig und unabhängig.
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Wenn Sie ein Wertepaar haben, bei dem der erste zufällig generiert wird und der zweite von dem ersten abhängig ist. zB Größe und Gewicht eines Mannes. Es besteht eine Korrelation zwischen ihnen. Aber sie sind beide zufällig.
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Das Münzbeispiel ist ein gutes Beispiel für eine zufällige und unabhängige Variable. Eine gute Möglichkeit, sich eine zufällige, aber abhängige Variable vorzustellen, ist die nächste Karte, die aus einem Schuh mit sieben Kartenspielen gezogen wird, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten numerischen Ergebnisses Änderungen in Abhängigkeit von den zuvor ausgegebenen Karten, aber bis nur noch ein Kartenwert im Schuh vorhanden ist, bleibt der Wert der nächsten Karte zufällig.
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David Bohm beschreibt in seiner Arbeit Kausalität und Zufall in der modernen Physik (London: Routledge, 1957/1984) Kausalität, Zufall, Zufälligkeit und Unabhängigkeit:
"In der Natur bleibt nichts konstant. Alles ist in einem fortwährenden Zustand der Transformation, Bewegung und Veränderung. Wir entdecken jedoch, dass nichts einfach aus dem Nichts aufsteigt, ohne vorher existierende Vorboten zu haben. Ebenso verschwindet nichts jemals spurlos das Gefühl, dass es zu absolut nichts führt, was zu einem späteren Zeitpunkt existiert .... alles kommt von anderen Dingen und führt zu anderen Dingen. Dieses Prinzip ist noch keine Aussage über die Existenz von Kausalität in der Natur. Der nächste Schritt ist dann festzustellen, dass wir bei der Untersuchung von Prozessen, die unter einer Vielzahl von Bedingungen ablaufen, feststellen, dass in der Komplexität von Veränderung und Transformation Beziehungen bestehendas bleiben effektiv konstant. .... An dieser Stelle stoßen wir jedoch auf ein neues Problem. Denn die Notwendigkeit eines Kausalgesetzes ist niemals absolut. Wir sehen also, dass man sich das Naturgesetz nur dann als notwendig vorstellen muss, wenn man von Eventualitäten abstrahiert , die im Wesentlichen unabhängige Faktoren darstellen, die außerhalb des Geltungsbereichs von Dingen existieren können, die von den betrachteten Gesetzen behandelt werden können und die nicht notwendigerweise folgen von allem, was im Rahmen dieser Gesetze festgelegt werden kann. Solche Eventualitäten führen zum Zufall . "(S.1-2)
"Die Tendenz, dass Eventualitäten, die außerhalb eines gegebenen Kontexts liegen, unabhängig von Ereignissen innerhalb dieses Kontexts schwanken, hat sich als so weit verbreitet erwiesen, dass man sie als Prinzip ausdrücken kann, nämlich als Prinzip der Zufälligkeit. Mit Zufälligkeit meinen wir nur, dass diese Unabhängigkeit führt die Schwankung dieser Eventualitäten auf sehr komplizierte Weise über einen weiten Bereich von Möglichkeiten hinweg, jedoch so, dass statistische Durchschnitte ein regelmäßiges und annähernd vorhersehbares Verhalten aufweisen. " (S.22)
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