Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Vierling zu ziehen, wenn 20 Karten aus einem 52er-Deck gezogen werden?

Gestern haben meine Mitbewohner und ich Kartenspiele gespielt und jemand hat diese Frage gestellt. Wir haben versucht, das Problem zu lösen, aber wir konnten es nicht herausfinden. Heute Morgen bin ich aufgewacht und frage mich immer noch, wie ich es lösen soll. Würdest du mir bitte helfen?

Es gibt 13 Arten, also können wir das Problem für eine einzelne Art lösen und dann von dort aus vorwärts gehen.

Die Frage ist dann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, 4 Erfolge (wie Könige) in 20 Stichproben aus der gleichen Verteilung von 4 Erfolgen (Königen) und 48 ersatzlosen Fehlern zu ziehen.

Die hypergeometrische Verteilung (Wikipedia) gibt uns die Antwort auf diese Frage und beträgt 1,8%.

Wenn ein Freund auf 4 Könige und ein anderer auf vier Königinnen setzt, haben beide eine Gewinnchance von 1,8%. Wir müssen wissen, wie stark sich die beiden Wetten überschneiden, um zu sagen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens einer von ihnen gewinnt.

Die Überlappung beider Siege ähnelt der ersten Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 8 Erfolge (Könige und Königinnen) in 20 Stichproben aus einer Verteilung von 8 Erfolgen (Könige und Königinnen) und 44 Misserfolgen ohne Ersatz zu ziehen?

Die Antwort ist wieder hypegeometrisch und nach meiner Berechnung sind es 0,017%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden Freunde gewinnt, beträgt 1,8% + 1,8% - 0,017% = 3,6%

Um diese Argumentation fortzusetzen, summiert der einfache Teil die Wahrscheinlichkeiten für einzelne Arten (13 * 1,8% = 23,4%), und der schwierige Teil besteht darin, herauszufinden, inwieweit sich alle diese 13 Szenarien überschneiden.

Die Wahrscheinlichkeit, entweder 4 Könige oder 4 Königinnen oder 4 Asse zu bekommen, ist die Summe aus jedem Vierling abzüglich der Überlappung. Die Überlappung besteht darin, 4 Könige und 4 Königinnen (aber nicht 4 Asse), 4 Könige und 4 Asse (aber nicht 4 Königinnen), 4 Königinnen und 4 Asse (aber nicht 4 Könige) und 4 Könige und 4 Königinnen zu bekommen und 4 Asse.

Hier wird es zu haarig, als dass ich weitermachen könnte, aber wenn Sie auf diese Weise mit der hypergeometrischen Formel auf Wikipedia fortfahren, können Sie alles aufschreiben.

Vielleicht kann uns jemand helfen, das Problem zu reduzieren?

Um mindestens bestimmte Vierlinge zu ziehen , müssen wir alle 4 k erforderlichen Karten ziehen. Dies ist eine hypergeometrische Verteilung, bei der wir alle 4 k Erfolge aus der Population der Größe 52 ziehen müssen. Es gibt ($k$$4k$$4k$$52.$ solche Sätze von Vierern. Daher besteht die Chance, mindestenskVierlinge zubekommen$\binom{13}{k}$$k$

für0≤k≤$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$$0\leq k\leq5.$

Nach dem Einschluss-Ausschluss-Prinzip ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen Vierling zu zeichnen, gleich

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

$0.2197706.$

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$