Stichprobenverteilung des Mittelwerts einer Beta

Angenommen, wir haben . Was bedeutet die Stichprobenverteilung der Stichprobe?$X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$

Mit anderen Worten, welcher Verteilung folgt die Stichprobe einer Beta?$\bar{X}$

Hinweis: Siehe auch für dieselbe Frage /math/85535/sum-of-niid-beta-distributed-variables

Für den Fall einer gleichmäßigen Verteilung $\text{Beta}(1,1)$Die Verteilung der Summe mehrerer unabhängiger Variablen (und der Mittelwert hängt damit zusammen) wurde als Irwin-Hall- Verteilung beschrieben.

Wenn

$$X_n = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(1,1)$$

dann hast du einen Spline of Degree $n-1$

$$f_X(x;n) = \frac{1}{(n-1)!} \sum_{j=0}^{n-1} a_j(k,n)x^j \quad \text{ for } \quad k \leq x \leq k+1$$

bei dem die $a_j(k,n)$ kann durch eine Wiederholungsbeziehung beschrieben werden:

$$a_j(k,n) = \begin{cases} 1 & \quad k=0,j=n-1 \\ 0 & \quad k=0,j< n-1 \\ a_j(k-1,n) + (-1)^{n+k-j-1} {{n}\choose{k}} {{n-1}\choose{j}} k^{n-j-1} & \quad k>1 \end{cases}$$

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Sie könnten die obige Formel als durch eine wiederholte Faltung von konstruiert sehen $X_{n-1}$ mit $Y_n$wo das Integral stückweise gelöst wird. Können wir dies möglicherweise für verteilte Beta-Variablen mit irgendwelchen verallgemeinern?$\alpha$ und $\beta$?

Lassen

$$X_n(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$$

Wir erwarten die Funktion $f_X(x;n,\alpha,\beta)$ aufgeteilt werden in $n$Stücke (obwohl möglicherweise kein Spline mehr). Die Faltung zur Berechnung der Verteilung von$X_{n}(\alpha,\beta) = X_{n-1}(\alpha,\beta)+U_n$ wird so etwas sein wie:

$$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \int^{\text{min}(1,x)}_{1-\text{min}(1,n-x)} f_X(x-y;n-1,\alpha,\beta) y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1} dy$$

• Zum $n=2$::

  $$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \begin{cases} \int_{0\phantom{-x}}^{x} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $0 \leq x \leq 1$} \\ \int_{x-1}^{1} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $1 \leq x \leq 2$} \end{cases}$$

  • Für Ganzzahl $\alpha$ und $\beta$: die Begriffe wie$((x-y)y)^{\alpha-1}$ und $((1-x+y)(1-y))^{\beta-1}$ kann für ganzzahlige Werte von erweitert werden $\alpha$ und $\beta$, so dass das Integral einfach zu lösen ist.

    Zum Beispiel:

    $$\begin{array}{} f_X(x;2,2,2) &=& \begin{cases} \frac{1}{30} x^3(x^2-5x+5) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{30}(2-x)^3(x^2+x-1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases}\\ \\ f_X(x;2,3,3) &=& \begin{cases} \frac{1}{630} x^5(x^4-9x^3+30x^2-42x+21) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{630}(2-x)^5(x^4+x^3-2x+1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases} \end{array}$$

Die Lösung für ganzzahlige Werte von $\alpha$ und $\beta$wird auch ein Spline sein. Möglicherweise könnte dies in eine nette (oder wahrscheinlich nicht so schöne) Formel für allgemeinere Situationen (nicht nur) umgewandelt werden$n=2$ und $\alpha=\beta=2$ or $\alpha=\beta=3$). Aber an diesem Punkt braucht man einige Tassen Kaffee oder besser eine Infusion, um dieses Zeug anzugehen.

Ich dachte, dies sei eine interessante Frage, daher hier eine kurze visuelle Untersuchung. Zum$X\sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$Ich habe zuerst 4 separate Beta-Distributionen ausgewählt (PDFs siehe unten).

Dann habe ich Probenmittel gesammelt, $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$und zeichnete die entsprechenden Histogramme wie unten gezeigt. Die Ergebnisse sehen normal aus und ich neige dazu, @ ChristophHancks Behauptung zu glauben, dass hier der zentrale Grenzwertsatz (CLT) am Werk ist.

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MATLAB-Code

% Parameters
n = 5000;
K = 5000;
% Define Beta distributions
pd1 = makedist('Beta',0.25,0.45);
pd2 = makedist('Beta',0.25,2.5);
pd3 = makedist('Beta',4,0.15);
pd4 = makedist('Beta',3.5,5);
% Collect Sample Means
X1bar = zeros(K,1);
X2bar = zeros(K,1);
X3bar = zeros(K,1);
X4bar = zeros(K,1);
for k = 1:K                           % get K sample means 
    X1bar(k) = mean(random(pd1,n,1)); % take mean of n samples
    X2bar(k) = mean(random(pd2,n,1));
    X3bar(k) = mean(random(pd3,n,1));
    X4bar(k) = mean(random(pd4,n,1));
end
% Plot Beta distribution PDFs
Xsupport = 0:.01:1;

figure, hold on, box on
title('Beta(\alpha_1,\alpha_2) PDFs')
plot(Xsupport,pdf(pd1,Xsupport),'r-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd2,Xsupport),'b-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd3,Xsupport),'k-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd4,Xsupport),'g-','LineWidth',2.2)
legend('(0.25,0.45)','(0.25,2.5)','(4,0.15)','(3.5,5)')

figure
s(1) = subplot(2,2,1), hold on, box on
    histogram(X1bar,'FaceColor','r')
s(2) = subplot(2,2,2), hold on, box on
    histogram(X2bar,'FaceColor','b')
s(3) = subplot(2,2,3), hold on, box on
    histogram(X3bar,'FaceColor','k')
s(4) = subplot(2,2,4), hold on, box on
    histogram(X4bar,'FaceColor','g')
title(s(1),'(0.25,0.45)')
title(s(2),'(0.25,2.5)')
title(s(3),'(4,0.15)')
title(s(4),'(3.5,5)')

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Bearbeiten: Dieser Beitrag war ein schneller Versuch, dem OP etwas zu bieten. Wie bereits erwähnt, impliziert der zentrale Grenzwertsatz (CLT) , dass diese Ergebnisse für jede Verteilung mit endlicher Varianz gelten.