Können zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung haben und doch mit ziemlicher Sicherheit unterschiedlich sein?

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Ist es möglich, dass zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung haben und sich dennoch mit ziemlicher Sicherheit unterscheiden?

distributions probability HornetsFan
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Lassen und definieren . Es ist leicht zu beweisen, dass . $X\sim N(0,1)$ $Y=-X$ $Y\sim N(0,1)$

Aber

P {ω : X (ω) = Y. (ω)} = P {ω : X (ω) = 0, Y. (ω) = 0} \leq P {ω : X (ω) = 0} = 0 .

$P\{\omega : X(\omega)=Y(\omega)\} = P\{\omega : X(\omega)=0,Y(\omega)=0\} \leq P\{\omega : X(\omega)=0\} = 0 \, .$

Daher unterscheiden sich und mit der Wahrscheinlichkeit eins. $X$ $Y$

Zen
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Derselbe Trick funktioniert viel allgemeiner und sogar in Fällen, die für jemanden "einfacher" erscheinen, der sich zum ersten Mal mit dem Thema befasst. Betrachten wir zum Beispiel

und

, wo

ist eine Bernoulli - Zufallsvariable mit Erfolgswahrscheinlichkeit ist

.

X

$X$

1 - X

$1-X$

X

$X$

1 / 2

$1/2$

Kardinal

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$X$ $Y$

Tatsächlich sind zwei Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilung nicht unbedingt auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert, daher macht die Frage im Allgemeinen keinen Sinn.

Stéphane Laurent
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3

(+1) Ihr zweiter Punkt ist besonders wichtig und hilft, wenn Sie ihn verstehen, die Unterschiede zwischen den beiden beteiligten Konzepten zu erläutern.

Kardinal

-1

$X(x)=x$ $Y(x)=1-x$ $x \in [0,1]$ $F(x)=x$ $f(x)=1$ $X+Y$ $x=1$

RRBaldino
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Willkommen auf unserer Webseite. Können Sie erläutern, inwiefern Ihr Beitrag die Frage in diesem Thread beantwortet und inwiefern er sich von der Antwort von Zen (und dem Kommentar von @Cardinal zu dieser Antwort ) unterscheidet?

Whuber

Können zwei Zufallsvariablen die gleiche Verteilung haben und doch mit ziemlicher Sicherheit unterschiedlich sein?

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