Ein Elektronikunternehmen stellt Geräte her, die in 95% der Fälle ordnungsgemäß funktionieren

Ein Elektronikunternehmen stellt Geräte her, die in 95% der Fälle ordnungsgemäß funktionieren. Die neuen Geräte werden in Kartons mit 400 Stück geliefert. Das Unternehmen möchte sicherstellen, dass k oder mehr Geräte pro Karton funktionieren. Was ist das größte k, damit mindestens 95% der Boxen die Garantie erfüllen?

Versuch: Ich weiß, dass ich für dieses Problem den zentralen Grenzwertsatz verwenden sollte, bin mir aber nicht sicher, welches N im Setup enthalten sein soll, da sich in jeder Box 400 Geräte befinden und die Anzahl der Boxen unbekannt ist. Könnte mir jemand einen Hinweis zum Setup geben? Vielen Dank!

Sie müssen davon ausgehen, dass die Geräte in jeder Box unabhängig sind. In diesem Fall muss die Anzahl der Arbeitsgeräte in einer Box einer Binomialverteilung folgen. Die Parameter sind (Anzahl der Geräte in der Box) und 0,95 (Arbeitsrate).$400$$.95$

Angenommen, Sie garantieren oder mehr Geräte pro Box. Sie sagen, dass mindestens 95% aller dieser Boxen k oder mehr Arbeitsgeräte enthalten . In der Sprache der Zufallsvariablen und Verteilungen behaupten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Binomialvariable ( 400 , 0,95 ) gleich oder größer als k ist, mindestens 95 % beträgt . Die Lösung wird gefunden, indem das 100 - 95 = fünfte Perzentil dieser Verteilung berechnet wird. Der einzig heikle Teil ist, dass wir, da dies eine diskrete Verteilung ist, darauf achten sollten, in unserer Antwort nicht einmalig zu sein.$k$$k$$(400, 0.95)$$k$$95\%$$100-95$

Rsagt uns, dass das fünfte Perzentil :$k=373$

qbinom(.05, 400, .95)

373

Lassen Sie uns überprüfen, indem wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass dieser Wert erreicht oder überschritten wird:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9520076

(Zumindest für mich ist es etwas kontraintuitiv, dass das lower.tail=FALSEArgument der Funktion von R' nicht den Wert seines Arguments enthält. Berechnet also die Chance, die mit einem Ergebnis verbunden ist, das streng größer ist als .)pbinompbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)k

Lassen Sie uns zur Überprüfung bestätigen, dass wir nicht einmal einen größeren Wert garantieren können:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0,9273511

$0.95$

Mit anderen Worten, wir haben das gefunden

$95.2\%$$k=373$$92.7\%$$374$$373$$95\%$

Im Übrigen erweist sich eine Normalverteilung als hervorragende Annäherung an diese spezielle Frage. (Anstatt die Antwort anzuzeigen, die Sie erhalten würden, überlasse ich es Ihnen, die Berechnung durchzuführen, da Sie nur Informationen zum Einrichten des Problems angefordert haben.)

Dieses Diagramm vergleicht die Binomialverteilungsfunktion mit ihrer ungefähren Normalwahrscheinlichkeit.

$k=373$

"Mindestens" von "mindestens 95%" bedeutet "min".

Code:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Ergebnisse:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Wenn ich mir das ansehe, sehe ich, dass der Mindestwert für die Rate 89% beträgt. Dies bedeutet, dass in einer halben Million Versuchen 89% der Befragten im schlimmsten Fall arbeiteten.

89% von 400 sind 356. Dies ergibt ungefähr 100%, nicht 95%. Es ist wahrscheinlich, dass die tatsächlichen 100% niedriger sind.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

Ausbeuten:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93,25% von 400 sind 373. Dies ist kein Rand der Daten, sondern das Innere, daher ist es wahrscheinlich eine gute Schätzung. Ihre Antwort wird in der Nähe von 373 sein.