Angenommen, ist eine kontinuierliche Zufallsvariable und ist eine diskrete.
Wie wir wissen, ist weil eine kontinuierliche Zufallsvariable ist. Und auf dieser Grundlage bin ich versucht zu schließen, dass die Wahrscheinlichkeit undefiniert ist.
Jedoch behauptet Wikipedia hier , dass es tatsächlich wie folgt definiert ist:
Frage: Wie hat Wikipedia es geschafft, diese Wahrscheinlichkeit zu definieren?
Mein Versuch
Hier ist mein Versuch, dieses Wikipedia-Ergebnis in Bezug auf Grenzen zu erhalten:
Nun scheint als , was übereinstimmt diese Wikipedia behaupten.Pr ( X = x ) f Y | X = x ( y )
Hat Wikipedia das so gemacht?
Aber ich habe immer noch das Gefühl, dass ich hier Kalkül missbrauche. Ich denke also, dass undefiniert ist, aber in der Grenze, in der wir uns so nah wie möglich nähern, um und , aber nicht augenblicklich, dann ist definiert.Pr ( Y = y ) Pr ( Y = y | X = x ) Pr ( X = x | Y = y )
Aber ich bin mir in vielen Dingen weitgehend unsicher, einschließlich des Limits-Tricks, den ich dort gemacht habe. Ich habe das Gefühl, dass ich die Bedeutung dessen, was ich getan habe, vielleicht nicht einmal vollständig verstehe.
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Antworten:
Die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung , , wird formal als Lösung der Gleichung wobei die Algebra bezeichnet, die mit der Verteilung von . Eine dieser Lösungen liefert die in Wikipedia angegebene Bayes-Formel (1763) :x ≤ X y ≤ Y P ( X = x , Y ≤ A ) = ≤ A P ( X = x | Y = y ) f Y ( y ) d yP(X=x|Y=y) x∈X y∈Y σ ( Y ) σ Y P ( X = x | Y = y ) = P ( X = x ) f Y | X = x ( y )
Hinweis: Hier ist eine noch formellere Einführung aus einer Überprüfung der Wahrscheinlichkeitstheorie in Terry Taos Blog :
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Ich werde eine Skizze geben, wie die Teile zusammenpassen können, wenn kontinuierlich und diskret ist.Y X
Die gemischte Fugendichte:
Grenzdichte und Wahrscheinlichkeit:
Bedingte Dichte und Wahrscheinlichkeit:
Bayes-Regel:
Natürlich ist die moderne, rigorose Art, mit Wahrscheinlichkeit umzugehen, die Maßtheorie. Eine genaue Definition finden Sie in Xi'ans Antwort.
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Beachten Sie, dass der Wikipedia-Artikel tatsächlich die folgende Definition verwendet: Das heißt, es ist behandelt das Ergebnis als Dichte, nicht als Wahrscheinlichkeit, wie Sie es haben. Ich würde also sagen, Sie haben Recht, dass undefiniert ist, wenn stetig und diskret ist, weshalb wir in diesem Fall stattdessen nur Wahrscheinlichkeitsdichten über berücksichtigen . P(X=x|Y=y)XYX.
Bearbeiten: Aufgrund einer Verwirrung über die Notation (siehe Kommentare) bezieht sich das Obige tatsächlich auf die entgegengesetzte Situation zu der, nach der der Höhlenmensch gefragt hat.
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