Mathematische Statistik (Momente vs. zentrale Momente)

Wenn (nicht unbedingt eine ganze Zahl), wie kann man dann beweisen, dass der rohe Moment von genau dann existiert, wenn der zentrale Moment von r ^ \ text {th} existiert? Ich denke, ich muss eine gewisse Ungleichung anwenden, aber ich kann es nicht herausfinden.$r \ge 1$$r^\text{th}$$r^\text{th}$

Zwei hervorstechende Eigenschaften der reellen Zahlen $x, y,$ und $\mu$ sind

1. Die Dreiecksungleichungen

   $$|x-\mu| \le |x|+|\mu|$$ und $$|x| \le |x-\mu| + |\mu|.$$

2. Durch Erhöhen der $r$ Potenz für $r \gt 0$ bleibt die Reihenfolge erhalten:

   $$|x| \le |y| \text{ implies } |x|^r \le |y|^r$$ und (daher) $$\max(|x|^r, |y|^r) = \max(|x|,|y|)^r.$$

Beachten Sie auch die einfache Beziehung

$$|x| + |y| \le 2\max(|x|, |y|).$$

Folglich ist für jede Zufallsvariable und reelle Zahl ,$X$$\mu$

$$|X-\mu|^r \le \left(|X| + |\mu|\right)^r \le \left(2\max\left(|X|, |\mu|\right)\right)^r = 2^r\max\left(|X|^r, |\mu|^r\right)$$

und

$$|X|^r \le \left(|X-\mu| + |\mu|\right)^r \le \cdots \le 2^r\max\left(|X-\mu|^r, |\mu|^r\right).$$

Wenn Sie und Erwartungen annehmen, werden die Ungleichungen festgestellt, die Sie benötigen.$\mu = \mathbb{E}(X)$