Wenn mean so empfindlich ist, warum sollte man es dann überhaupt verwenden?

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Es ist bekannt, dass der Median gegen Ausreißer resistent ist. Wenn dies der Fall ist, wann und warum sollten wir den Mittelwert zuerst verwenden?

Eine Sache, an die ich denken kann, ist vielleicht, das Vorhandensein von Ausreißern zu verstehen, dh wenn der Median weit vom Mittelwert entfernt ist, ist die Verteilung verzerrt und möglicherweise müssen die Daten untersucht werden, um zu entscheiden, was mit den Ausreißern zu tun ist. Gibt es noch andere Verwendungen?

Legende
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14
Zu der ersten Frage eine kurze Randnotiz: Der statistische Mittelwert ist nur der erste Moment einer Population , der Median nicht. Wenn Sie CLT, das Gesetz der großen Zahlen usw. verwenden möchten, sind Sie wieder mit der Existenz endlicher Momente verbunden. Obwohl zum Beispiel Cauchy-Verteilung: Median existiert, während Mean nicht;)
Dmitrij Celov
2
@Dmitrij Das ist eine tiefe und aufschlussreiche Antwort. Warum erläutern Sie es nicht in einer Antwort?
Whuber
Wenn du nicht die Mittel benutzt hättest, hättest du seine Gefühle verletzt? (Sorry, konnte nicht widerstehen.)
Daniel R Hicks
3
@ Daniel R Hicks: Und das ist ziemlich gemein, oder? (Entschuldigung, ich konnte auch nicht widerstehen).
Muhammad Alkarouri
3
Diese Frage ist viel interessanter als die übliche: "Warum verwenden wir nicht immer nur robuste Algorithmen?" Wenn wir nur robuste Methoden verwenden, müssten wir unsere Daten nicht untersuchen, verstehen oder uns über verschiedene Arten von Genauigkeitsproblemen Gedanken machen, da diese Probleme auftreten "robust". Immer noch +1.
Wayne

Antworten:

113

In gewisser Weise wird der Mittelwert verwendet, weil er für die Daten empfindlich ist. Wenn die Verteilung symmetrisch ist und die Schwänze ungefähr der Normalverteilung entsprechen, ist der Mittelwert eine sehr effiziente Zusammenfassung der zentralen Tendenz. Der Median, während sie robust und gut definiert für jede kontinuierliche Verteilung ist nur so effizient wie der Mittelwert , wenn die Daten aus einer Normalverteilung kommen passiert. Es ist diese relative Ineffizienz des Medians, die uns davon abhält, ihn noch mehr zu nutzen als wir. Die relative Ineffizienz führt mit zunehmender Stichprobengröße zu einer geringfügigen absoluten Ineffizienz, sodass wir für große den Median besser verwenden können. n2πn

Es ist interessant festzustellen, dass es für ein Maß für die Variation (Streuung, Streuung) einen sehr robusten Schätzer gibt, der 0,98 so effizient ist wie die Standardabweichung, nämlich die mittlere Differenz nach Gini. Dies ist der mittlere absolute Unterschied zwischen zwei Beobachtungen. [Sie müssen die Standardabweichung der Stichprobe mit einer Konstanten multiplizieren, um die gleiche Menge zu schätzen, die durch Ginis mittlere Differenz geschätzt wird.] Ein effizientes Maß für die zentrale Tendenz ist der Hodges-Lehmann-Schätzer, dh der Median aller paarweisen Mittelwerte. Wir würden es mehr benutzen, wenn seine Interpretation einfacher wäre.

Frank Harrell
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13
+1 für die Erwähnung des Hodges-Lehmann-Schätzers der zentralen Tendenz. In vielerlei Hinsicht liegt es zwischen Mittelwert und Median. Wenn es nur einfach wäre, in großen Stichproben zu rechnen, wäre es meiner Meinung nach beliebter als der Mittelwert oder der Median als Maß für die Position.
ttnphns
Übrigens, @Frank, wissen Sie, welcher theoretischen Stichprobenverteilung das Hodges-Lehmann-Zentrum folgt? Ich nicht - und ich interessiere mich.
TTNPHNS
16
Danke für den Kommentar. Ein Ein-Liner in R kann es effizient berechnet bis zu N = 5000: w <- outer(x, x, '+'); median(w[row(w) >= col(w)])/2. Ein triviales C-, Fortran- oder Ratfor-Programm könnte von R aufgerufen werden, um es blitzschnell zu machen. Das ICSNP-Paket in R hat eine ziemlich effiziente Implementierung mit seiner hl.locFunktion. Für N = 5000 war es 2,66-mal schneller als der obige Code (Gesamtzeit 1,5 Sekunden). Es wäre schön, auch ein Vertrauensintervall effizient zu erhalten.
Frank Harrell
@FrankHarrel Was können Sie über und Schätzer für die Standardabweichung sagen ? Welche Konstante sollte ich zur Schätzung von Verwendung der mittleren Gini-Differenz für nicht normale Verteilungen verwenden? Ich konnte die Papiere, die die Prozedur der Berechnung dieser Konstante beschreiben, nicht in Open-Access-Quellen finden ... Auch ich habe keine Informationen über die Robustheit von Ginis mittlerem Unterschied gefunden. Könnten Sie eine Idee geben, wo sie zu suchen ist? Q n σSnQnσ
Deutsch Demidov
1
Wir sprechen über Dispersionsmaße, damit der Vergleich von Modellen nicht zur Debatte steht (und nicht mit "Gini's Index" verwechseln). Ginis mittlere Differenz ist ein absolutes Maß. Es ist einfacher zu interpretieren als die anderen Maßnahmen. Die Tatsache, dass Sie für jede Verteilung eine andere Konstante berechnen müssten, zeigt mir, dass wir die Konstante nicht verwenden möchten.
Frank Harrell
36

Viele gute Antworten bereits, aber, einen Schritt zurück und etwas grundlegender, würde ich sagen, es ist, weil die Antwort, die Sie erhalten, von der Frage abhängt, die Sie stellen. Der Mittelwert und der Median beantworten unterschiedliche Fragen - manchmal ist eine angebracht, manchmal die andere.

Es ist einfach zu sagen, dass der Median verwendet werden sollte, wenn es Ausreißer gibt, oder für verzerrte Verteilungen oder was auch immer. Das ist aber nicht immer der Fall. Nehmen Sie das Einkommen - fast immer mit Median, und normalerweise ist das richtig. Aber wenn Sie die Kaufkraft einer ganzen Gemeinschaft betrachten, ist dies möglicherweise nicht richtig. In einigen Fällen ist sogar der Modus am besten (insbesondere, wenn die Daten gruppiert sind).

Peter Flom
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8
+1 für den offensichtlichen Punkt, den sonst niemand anzusprechen schien: Sie sind unterschiedliche Konzepte und beantworten unterschiedliche Fragen. Außerdem geht in vielen Fällen viel verloren, wenn die gesamte Distribution in einer Zusammenfassung zusammengefasst wird, sodass beide manchmal miese Arbeit leisten.
Michael McGowan
25

Wenn ein Wert für uns Müll ist, nennen wir ihn "outliar" und möchten, dass die Analyse robust ist (und einen Median bevorzugt). Wenn derselbe Wert attraktiv ist, nennen wir ihn "extrem" und möchten, dass die Analyse darauf reagiert (und den Mittelwert bevorzugt). Dialektik ...

Mittelwert reagiert gleichermaßen auf eine Wertverschiebung, unabhängig davon, wo in der Verteilung die Verschiebung stattfindet. Zum Beispiel können 1 2 3 4 5Sie einen beliebigen Wert um 2 erhöhen - der Anstieg des Mittelwerts ist derselbe. Die Reaktion des Medians ist weniger "konsistent": Addieren Sie 2 zu den Datenpunkten 4 oder 5, und der Median steigt nicht an. aber addiere 2 zu Punkt 2 - so dass die Verschiebung über dem Median liegt und sich der Median dramatisch ändert (viel mehr als der Mittelwert wird sich ändern).

Mittelwert ist immer genau lokalisiert. Median ist nicht; Zum Beispiel kann ein 1 2 3 4 beliebiger Wert zwischen 2 und 3 als Median bezeichnet werden. Auswertungen auf der Basis von Medianen sind daher nicht immer eine eindeutige Lösung.

Der Mittelwert ist ein Ort minimaler Quadratabweichungen. Viele Optimierungsaufgaben basierend auf linearer Algebra (einschließlich der bekannten OLS-Regression) minimieren diesen quadratischen Fehler und implizieren daher das Konzept des Mittelwerts. Median ein Ort minimaler Summe absoluter Abweichungen. Optimierungstechniken zur Minimierung solcher Fehler sind nicht linear und komplexer / wenig bekannt.

ttnphns
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2
+1 Ich habe ein wenig Bedenken, dass der erste Absatz missverstanden werden könnte, da das Erkennen von Ausreißern ein völlig subjektiver Prozess ist. Ich glaube nicht, dass Sie das implizieren wollen.
Whuber
8
+1 | Ich denke, der erste Satz impliziert, dass die Anwendung der Ausreißererkennung völlig subjektiv ist, und daher stimme ich für die Beibehaltung.
John
2
Ich meinte, dass die Erkennung von Outliars ein strenges Verfahren mit subjektiven philosophischen oder moralischen Wurzeln ist
ttnphns
3
@ttnphns, die Schreibweise "outliar" anstelle von "outlier" ist beabsichtigt oder nicht?
mpiktas
1
Unbeabsichtigter Tippfehler.
TTNPHNS
16

Es gibt viele Antworten auf diese Frage. Hier ist eine, die Sie wahrscheinlich nirgendwo sonst sehen werden. Deshalb werde ich sie hier aufnehmen, weil ich glaube, dass sie für das Thema relevant ist. Die Leute glauben oft, dass der Median für fast alles robust ist, weil er als robustes Maß für Ausreißer angesehen wird. Tatsächlich wird es auch als robust angesehen, bei verzerrten Verteilungen eine Tendenz zu erkennen. Diese beiden robusten Eigenschaften des Medians werden oft zusammen gelernt. Man könnte bemerken, dass zugrunde liegende verzerrte Verteilungen auch dazu neigen, kleine Stichproben zu erzeugen, die aussehen, als hätten sie Ausreißer, und es ist allgemein bekannt, dass man in solchen Situationen Mediane verwendet.

#function to generate random values from a skewed distribution
rexg <- function (n, m, sig, tau) {
    rexp(n, rate = 1/tau) + rnorm(n, mean = m, sd = sig)
    }

(nur eine Demonstration, dass dies schief ist und die Grundform)

hist(rexg(1e4, 0, 1, 1))

Handlung

Lassen Sie uns nun sehen, was passiert, wenn wir aus dieser Verteilung verschiedene Stichprobengrößen abtasten und den Median und den Mittelwert berechnen, um die Unterschiede zwischen ihnen zu ermitteln.

#generate values with various n's
N <- 1e4
ns <- 2:30
y <- sapply(ns, function(x) mean(apply(matrix(rexg(x*N, 0, 1, 1), ncol = N), 2, median)))
plot(ns,y, type = 'l', ylim = c(0.85, 1.03), col = 'red') 
y <- sapply(ns, function(x) mean(colMeans(matrix(rexg(x*N, 0, 1, 1), ncol = N))))
lines(ns,y)

plot2

Wie aus dem obigen Diagramm ersichtlich ist, ist der Median (in Rot) für das n viel empfindlicher als der Mittelwert. Dies steht im Widerspruch zu konventionellen Erkenntnissen in Bezug auf die Verwendung von Medianen mit niedrigem ns, insbesondere wenn die Verteilung verzerrt sein könnte. Und es verstärkt den Punkt, dass der Mittelwert ein bekannter Wert ist, während der Median für andere Eigenschaften empfindlich ist, von denen eine n ist.

Diese Analyse ähnelt Miller, J. (1988). Eine Warnung zur mittleren Reaktionszeit. Journal of Experimental Psychology: Menschliche Wahrnehmung und Leistung , 14 (3): 539–543.

REVISION

Beim Nachdenken über das Versatzproblem bin ich zu dem Schluss gekommen, dass der Einfluss auf den Median möglicherweise darauf zurückzuführen ist, dass bei kleinen Stichproben die Wahrscheinlichkeit größer ist, dass der Median am Ende der Verteilung liegt Modus. Wenn man also nur eine Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von Ausreißern erstellt, treten möglicherweise dieselben Ergebnisse auf.

Also dachte ich über Situationen nach, in denen Ausreißer auftreten und Experimentatoren versuchen könnten, sie zu beseitigen.

Wenn Ausreißer konsistent auftreten, wie beispielsweise einer in jeder einzelnen Datenstichprobe, sind Mediane robust gegen die Auswirkung dieses Ausreißers, und die herkömmliche Geschichte über die Verwendung von Medianen ist gültig.

Aber so läuft es normalerweise nicht.

Man könnte in sehr wenigen Zellen eines Experiments einen Ausreißer finden und sich in diesem Fall für die Verwendung des Medians anstelle des Mittelwerts entscheiden. Auch hier ist der Median robuster, aber seine tatsächliche Auswirkung ist relativ gering, da es nur sehr wenige Ausreißer gibt. Dies wäre definitiv ein häufigerer Fall als der oben beschriebene, aber der Effekt der Verwendung eines Medians wäre wahrscheinlich so gering, dass es nicht viel ausmachen würde.

Vielleicht sind Ausreißer häufiger eine zufällige Komponente der Daten. Beispielsweise kann der wahre Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit ungefähr 0 sein, aber es gibt einen Prozentsatz der Zeit, die wir von einer Ausreißergrundgesamtheit mit dem Mittelwert 3 abtasten. Betrachten Sie die folgende Simulation, bei der nur eine Grundgesamtheit abgetastet wird, wobei die Stichprobe variiert Größe.

#generate n samples N times with an outp probability of an outlier.
rout <- function (n, N, outp) {
    outPos <- sample(0:1,n*N, replace = TRUE, prob = c(1-outp,outp))
    numOutliers <- sum(outPos)
    y <- matrix( rnorm(N*n), ncol = N )
    y[which(outPos==1)] <- rnorm(numOutliers, 4)
    return(y)
    }

outp <- 0.1
N <- 1e4
ns <- 3:30
yMed <- sapply(ns, function(x) mean(apply(rout(x,N,outp), 2, median)))
var(yMed)
yM <- sapply(ns, function(x) mean(colMeans(rout(x,N,outp))))
var(yM)
plot(ns,yMed, type = 'l', ylim = range(c(yMed,yM)), ylab = 'Y', xlab = 'n', col = 'red') 
lines(ns,yM)

Ergebnisse

Der Median ist rot und der Mittelwert schwarz. Dies ist ein ähnlicher Befund wie bei einer verzerrten Verteilung.

In einem relativ praktischen Beispiel für die Verwendung von Medianen, um die Auswirkungen von Ausreißern zu vermeiden, kann man Situationen finden, in denen die Schätzung durch n viel stärker beeinflusst wird, wenn der Median verwendet wird als wenn der Mittelwert verwendet wird.

John
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Nettes Beispiel, aber es kommt wirklich auf die Distribution an. Wenn Sie eine Normalverteilung oder eine Gleichverteilung verwenden, ist der Graph sehr unterschiedlich, wobei die beiden Linien überlagert werden. Es ist die Exponentialverteilung, die den Unterschied erzeugt.
Nico
1
-1 Diese Antwort verwechselt "Empfindlichkeit" mit "Voreingenommenheit".
whuber
4
Viel besser; Ich habe die Ablehnung entfernt. Aber ich bin fasziniert von der neuen Erklärung: Könnten Sie eine Quelle - einen Text, ein Papier oder eine Website - nennen, die tatsächlich die Behauptung aufstellt, "[der Median] wird auch als robust angesehen, wenn es um verzerrte Verteilungen geht" und erklärt was könnte das heißen Ich bin noch nie auf eine solche Behauptung gestoßen und bin mir nicht sicher, was sie wirklich aussagt.
whuber
3
Es ist mehr Volkswissen für den Umgang mit Reaktionszeiten (bekanntermaßen verzerrt) in der Psychologieforschung. Ich habe einen Verweis auf ein Papier eingefügt, das die Volksweisheit in der Psychologie widerlegt (dass ich mich schlecht fühle, wenn ich mich nicht früher beziehe).
John
3
Übrigens wird in Studien mit Wahrscheinlichkeitsmanipulationen, bei denen die Bedingungen eine unterschiedliche Anzahl von Proben aufweisen und die niedrigere normalerweise eher gering ist, trotz der Veröffentlichung von Miller (1988) immer noch eine mittlere Reaktionszeit verwendet.
John
11
  • Aus dem Mittelwert lässt sich auf einfache Weise die Summe aller Elemente berechnen. Wenn Sie beispielsweise das Durchschnittseinkommen der Bevölkerung und die Bevölkerungsgröße kennen, können Sie sofort das Gesamteinkommen der gesamten Bevölkerung berechnen.

  • Der Mittelwert ist einfach in der O(n)zeitlichen Komplexität zu berechnen . Die Berechnung des Medians in linearer Zeit ist möglich , erfordert jedoch mehr Nachdenken. Die offensichtliche Lösung, die eine Sortierung erfordert, weist eine schlechtere ( O(n log n)) zeitliche Komplexität auf.

Und ich spekuliere, dass es einen anderen Grund gibt, warum der Mittelwert populärer ist als der Median:

  • Der Mittelwert wird mehr Personen in der Schule beigebracht und er wird wahrscheinlich vor dem Unterrichten des Medians unterrichtet
Andre Holzner
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Für Ihren Zeitkomplexitätspunkt hängt es davon ab, wie die Werte gespeichert werden. Wenn die Werte bereits sortiert sind, ist es sicherlich möglich, den Median in O (1) der Zeitkomplexität im ungünstigsten Fall zu berechnen.
Luiscubal
Ich stimme zu - seine Anwendbarkeit bei Berechnungen wie Summen ist einer der Hauptvorteile des Mittels. Während ich oft den Median bevorzuge, wenn das Ziel darin besteht, etwas zu beschreiben, verwenden wir oft den Mittelwert, wenn es eine Eingabe für eine andere Berechnung ist.
Jonathan
5

"Es ist bekannt, dass der Median gegen Ausreißer resistent ist. Wenn dies der Fall ist, wann und warum sollten wir den Mittelwert zuerst verwenden?"

In Fällen, in denen man weiß, dass es keine Ausreißer gibt, zum Beispiel wenn man den Prozess der Datenerzeugung kennt (zum Beispiel in der mathematischen Statistik).

Man sollte das Triviale betonen, dass diese beiden Größen (Mittelwert und Median) tatsächlich nicht dasselbe messen und dass die meisten Benutzer nach dem ersteren fragen, wann sie wirklich an dem letzteren interessiert sein sollten (dieser Punkt wird durch gut illustriert) die medianbasierten Wilcoxon-Tests, die leichter zu interpretieren sind als die t-Tests).

Dann gibt es Fälle, in denen aus dem einen oder anderen Grund eine Vorschrift die Verwendung des Begriffs vorschreibt.

user603
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2

Wenn die Besorgnis über die Anwesenheit von Ausreißern besteht, gibt es einige einfache Möglichkeiten, Ihre Daten zu überprüfen.

Ausreißer kommen definitionsgemäß in unsere Daten, wenn sich etwas ändert, entweder im Prozess der Datenerzeugung oder im Prozess der Datenerfassung. dh die Daten sind nicht mehr homogen. Wenn Ihre Daten nicht homogen sind, ist weder der Mittelwert noch der Median sinnvoll, da Sie versuchen, die zentrale Tendenz von zwei getrennten Datensätzen abzuschätzen, die zusammengemischt wurden.

Die beste Methode zur Gewährleistung der Homogenität besteht darin, die Prozesse zur Datenerzeugung und -erfassung zu untersuchen, um sicherzustellen, dass alle Ihre Daten aus einer einzigen Prozessgruppe stammen. Hier geht nichts über ein bisschen Hirnleistung.

Als sekundäre Prüfung können Sie sich an einen von mehreren statistischen Tests wenden: Chi-Quadrat, Dixons Q-Test, Grubbs Test oder das Kontroll- / Prozessverhaltensdiagramm (normalerweise X-Bar R oder XmR). Ich habe die Erfahrung gemacht, dass, wenn Ihre Daten so bestellt werden können, wie sie erfasst wurden, die Prozessverhaltensdiagramme Ausreißer besser erkennen als die Ausreißertests. Diese Verwendung für die Charts mag etwas umstritten sein, aber ich glaube, dass sie vollständig mit Shewharts ursprünglicher Absicht übereinstimmt und von Donald Wheeler ausdrücklich befürwortet wird. Unabhängig davon, ob Sie die Ausreißertests oder die Prozessverhaltensdiagramme verwenden, denken Sie daran, dass ein erkannter "Ausreißer" lediglich ein Signal für das Potenzial darstelltInhomogenität, die weiter untersucht werden muss. Es ist selten sinnvoll, Datenpunkte wegzuwerfen, wenn Sie keine Erklärung dafür haben, warum sie Ausreißer waren.

Wenn Sie R verwenden, stellt das Ausreißerpaket die Ausreißertests bereit, und für Prozessverhaltensdiagramme stehen qcc , IQCC und qAnalyst zur Verfügung. Ich habe eine persönliche Präferenz für die Verwendung und Ausgabe des qcc-Pakets.

Tom
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2

Wann möchten Sie vielleicht den Mittelwert?

Beispiele aus dem Finanzbereich:

  • Anleiherendite:
    • Die durchschnittliche Anleiherendite beträgt in der Regel einige Prozentpunkte.
    • Die durchschnittliche Anleiherendite kann je nach Ausfallrate und Ausfallrendite niedrig oder hoch sein. Der Median wird das alles ignorieren!
    • Viel Glück beim Erklären Ihrer Anleger: "Ich weiß, dass unser Fonds in diesem Jahr um 40% gefallen ist, weil fast die Hälfte der Anleihen pleite gegangen ist und sich nicht erholt hat, aber unsere mittlere Anleihe hat 1% zurückgegeben!"
  • Risikokapitalrendite:
    • Das Gleiche in umgekehrter Richtung. Die mittlere VC- oder Engelsinvestition ist eine Pleite und die gesamte Rendite kommt von einigen Gewinnern! (Randnotiz / Warnung: Schätzungen der Risikokapital- oder Private-Equity-Rendite sind äußerst problematisch ... seien Sie vorsichtig!)

Bei der Bildung eines diversifizierten Portfolios, der Entscheidung, in was und wie viel investiert werden soll, spielen der Mittelwert und die Kovarianz der Renditen wahrscheinlich eine wichtige Rolle für Ihr Optimierungsproblem.

Matthew Gunn
quelle
Einverstanden, aber es scheint, dass in keiner dieser Situationen der Mittelwert oder der Median im Mittelpunkt steht. Vielmehr können Summen die Schlüsselgrößen sein. Dies impliziert natürlich wiederum, dass dies bessere Zusammenfassungen als Mediane sind. Aber wenn man bedenkt, dass die durchschnittliche Rendite einer Anleihe eine dumme Antwort sein könnte, schlägt es jemand vor?
Nick Cox
@ NickCox Zwei Kommentare. (1) Dass der Median der Anleiherenditen albern ist, ist der Punkt! In diesen Antworten steckt eine großartige Theorie, aber ich dachte, ein extrem einfaches Beispiel könnte etwas Farbe hinzufügen. Um Franks Antwort zu zitieren: "Der Mittelwert wird verwendet, weil er für die Daten sensibel ist", und die Portfolioerträge ergeben eine einfache, verständliche Situation, in der Sie dies wünschen. (2) Die Unterscheidung zwischen der Sorge um die "Summe" und der Sorge um die "Mitte" kann ziemlich nebulös werden. "Soll ich in einen Hedgefonds investieren?" Um das zu beantworten, möchte ich vielleicht wissen: "Was ist die mittlere Rendite von Hedge-Fonds?"
Matthew Gunn
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(1) Ich stimme zu, wie gesagt; meine frage ist nur, ob der median zu diesem zweck in der lehr- oder forschungsliteratur ernsthaft erwähnt wird. (2) Ich denke nicht, dass mein Standpunkt nebulös ist; es ist eine einfache Frage, was zuerst kommt, dh praktisch von primärem Interesse ist. Ich sehe Schlagzeilen "Bande für insgesamt 200 Jahre inhaftiert" und ich weiß, warum sie gedruckt werden, aber es ist eine seltsame Art, es trotzdem zusammenzufassen. Umgekehrt sind 200 Tote bei einer Reihe von Katastrophen die Primärkatastrophe und nicht 5 Katastrophen mit einem Durchschnitt von jeweils 40 Toten. Die (kleine) Frage ist, welche zusammenfassende Aussage am besten geeignet ist.
Nick Cox
@ NickCox Punkt genommen. Ich bin damit einverstanden, dass Ihnen die Summe Ihrer eigenen Investitionen am Herzen liegt. Wenn Sie ein Portfolio aufbauen und Portfoliogewichte für bestimmte Wertpapiere festlegen, werden Sie die Eigenschaften der Rendite dieses Wertpapiers berücksichtigen. Ich werde nicht ALLE Kommunalanleihen kaufen, die Gesamtsumme ist mir egal, aber wie hoch ist die durchschnittliche Rendite einer Kommunalanleihe? Was sind die Risiko / Rendite-Eigenschaften, wenn ich ein paar in mein Portfolio aufnehmen würde?
Matthew Gunn
Einverstanden. Das ist das Gebiet hier.
Nick Cox