Wie ist die Verteilung der Summe der quadratischen Chi-Quadrat-Zufallsvariablen?

Wie wäre die Verteilung der folgenden Gleichung:

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

Dabei sind und unabhängige nicht zentrale Chi-Quadrat-Zufallsvariablen mit Freiheitsgraden. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS.: Die RVs, die sowohl als auch erzeugen, haben und , sagen wir . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf Felipe Augusto de Figueiredo
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1. Wie hängen und zusammen? 2. Chi-Quadrat-Zufallsvariablen haben bereits einen Mittelwert> 0 Warum sollten Sie ihn explizit angeben müssen? (Oder versuchen Sie, sich auf ein nicht zentrales Chi-Quadrat zu beziehen?)

a

$a$

d

$d$

Glen_b -State Monica

Ich habe der Frage gerade einige weitere Informationen hinzugefügt. Sie sind nicht zentrale Chi-Quadrat-RVs, da sie durch nicht standardmäßige kreisförmige symmetrische komplexe Gaußsche Zufallsvariablen erzeugt wurden.

Felipe Augusto de Figueiredo

2M sind die Freiheitsgrade für jeden der beiden?

Alecos Papadopoulos

Felipe, in Ihrer Frage geben Sie und tun „haben “ , aber in ihrem neuesten Kommentar , den Sie angeben , sie nicht diese Eigenschaft haben. Welches ist es??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

whuber

Danke, dass Sie versucht haben zu erklären, aber ich kann es immer noch nicht verstehen. Wenn Sie schreiben, dass " und unabhängige nicht zentrale Chi-Quadrat-Zufallsvariablen sind", klingt es so, als würden Sie Quadrate normaler Zufallsvariablen mit einem Mittelwert ungleich Null summieren , da auf diese Weise normalerweise nicht zentrale Chi-Quadrat-Variablen entstehen. Aber später schreiben Sie "Die RVs, die sowohl als auch erzeugen, haben ", was darauf hindeutet, dass Sie mit zentralen Chi-Quadrat-Variablen arbeiten. Ich vermute, dass dies die Inkonsistenzen sind, die den ersten Kommentar von @Glen_b ausgelöst haben. Könnten Sie explizit zeigen, was und

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ sind?

whuber

Antworten:

Wenn unabhängig sind, hat eine -Verteilung. Da nicht negativ ist, kann CDF von durch Notieren vonDaher ist $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Wenn und korreliert sind, sind die Dinge viel komplizierter. Siehe zum Beispiel die kumulative Verteilungsfunktion von NH Gordon & PF Ramig für die Summe der korrelierten Chi-Quadrat-Zufallsvariablen (1983) für eine Definition des multivariaten Chi-Quadrats und die Verteilung seiner Summe. $a$ $d$

Wenn dann haben Sie es mit nicht zentralem Chi-Quadrat zu tun, so dass das oben Genannte nicht mehr gültig ist. Dieser Beitrag kann einige Einblicke geben. $\mu\neq 2M$

BEARBEITEN: Basierend auf den neuen Informationen scheinen und durch Summieren des normalen rv mit einer Varianz von nicht Einheiten gebildet zu werden. Denken Sie daran, wenn dann . Da jetzt beide eine Chi-Quadrat-Verteilung, die durch skaliert ist , dh -Verteilung. In diesem Fall wird verteilt. Als Ergebnis haben wir für $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

Francis
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Wie tritt ich ein? Soll es der Mittelwert einer der Chi-Quadrat-Variablen sein? Ich vermute, es hat nichts mit dem Problem zu tun.

Michael R. Chernick

@ MichaelChernick: Bedeutet wahrscheinlich, dass nicht zentrales Chi-Quadrat sein kann?

a, d

$a, d$

Francis

Ich nehme an, Sie können diese Annahme treffen, aber das OP stellt keine Verbindung her. Ich denke, Sie haben den richtigen Ansatz gewählt, der Nicht-Zentrale konnte nicht auf dieses Problem eingehen. X ist hier das Quadrat eines Chi-Quadrats. Wie heißt diese Verteilung im Falle der Unabhängigkeit, die Sie hier verwendet haben?

Michael R. Chernick

@MichaelChernick Ich bin mir nicht sicher, ob der Distribution ein spezieller Name zugeordnet ist. "Chi-Tesseracted" vielleicht?

Francis

a

$a$ und sind nicht zentrale Chi-Quadrate.

d

$d$

Felipe Augusto de Figueiredo

Da ein nicht zentrales Chi-Quadrat eine Summe unabhängiger rvs ist, ist die Summe zweier unabhängiger nicht zentraler Chi-Quadrate auch ein nicht zentrales Chi-Quadrat mit Parametern, die die Summe der entsprechenden Parameter von die beiden Komponenten (Freiheitsgrade), (Nicht-Zentralitätsparameter). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Um die Verteilungsfunktion seines Quadrats , kann man die "CDF-Methode" anwenden (wie in der Antwort von @francis). $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

und wo

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

damit

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

wo hier ist Marcums Q-Funktion . $Q$

Das Obige gilt für nicht zentrale Chi-Quadrate, die als Summen unabhängiger quadratischer Normalen mit jeweils einheitlicher Varianz, aber unterschiedlichem Mittelwert gebildet werden.

ADDENDUM FÜR DIE BEARBEITUNG DER FRAGE

Wenn die Basis-RV , ist das Quadrat von jedem ein siehe https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Also das rv und also auch (Formskalenparametrisierung, und siehe den Wikipedia-Artikel für die additive Eigenschaften für Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Dann kann man die CDF-Methode erneut anwenden, um die CDF des Quadrats $Y = X^2$

Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Entschuldigung, ich bin nicht mit komplexen Wohnmobilen vertraut. Meine Antwort ging davon aus, dass wir von nicht zentralen Chi-Quadraten ausgehen.

Alecos Papadopoulos

Was ist, wenn die RVs kreisförmige symmetrische komplexe Gaußsche Zufallsvariablen mit und ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

Felipe Augusto de Figueiredo

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

Könnten Sie mir bitte bei der folgenden Frage helfen: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Jeder Hinweis wäre sehr dankbar. Vielen Dank!

Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Ich fürchte, ich habe für diese Frage nichts zu bieten.

Alecos Papadopoulos