Was ist cov (X, Y), wobei X = min (U, V) und Y = max (U, V) für unabhängige normale (0,1) Variablen U und V?

Lassen:

• $U, V \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$ , dh unabhängiger Standard Normale Zufallsvariablen.
• $X=\min(U,V)$
• $Y=\max(U,V)$

Was ist die Kovarianz von $X$ und $Y$ ?

Verwandte: Was ist cov (X, Y), wobei X = min (U, V) und Y = max (U, V) für unabhängige einheitliche (0,1) Variablen U und V?

$\newcommand{\E}{\mathrm{E}}$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$ $\newcommand{\cov}{\mathrm{Cov}}$ $\newcommand{\Expect}{{\rm I\kern-.3em E}}$

Als direkte Folge der Definition der Kovarianz ist $\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)$ .

Fakt 1: ( Summe normalverteilter Zufallsvariablen )ist eine halbnormale Zufallsvariable mit dem Parameter
$U, V \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$
$\Rightarrow U - V \sim \mathcal{N}(0,2)$
$\Rightarrow |U - V|$$\sigma = \sqrt2$
$\Rightarrow \E (|U - V|) = \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

Fakt 2: ( Linearität der Erwartung ). Wir haben . Infolgedessen ist .
$\E(X)+\E(Y) = \E(X+Y)$$\E(X+Y) = \E (\min(U,V)+\max(U,V))= \E(U+V) = \E(U)+\E (V) = 0 + 0 = 0$$\E(Y) = -\E(X)$

Fakt 3:
Da: , daher$Y-X = |U - V|$
$2\E(Y) = \E(Y)-\E(X) = \E(Y-X) = \E (|U - V|)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}$$\E(Y)= \frac{2}{2\sqrt{\pi}}= \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

Fakt 4:
Da , haben wir$XY=UV$$\E(XY)=\E(UV)=\E (U)\E (V)=0$

Unter Verwendung dieser Tatsachen: .$\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)= 0 + \E(Y)\E(Y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{\pi}$