Die Ankunft von Photonen an einem Pixel in einem Bildsensor ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable, so dass die Eingabe als Poisson rv X \ sim \ mathrm {Poisson} (\ lambda) modelliert werden kann .
Da die Eingabe Poisson ist, sind der Mittelwert und die Varianz gleich, so dass
Nun , wenn der Photonen - Eingang über einen linearen Bildsensor (Kamera) geleitet wird , eine digitale Ausgabe zu erzeugen, können wir dies als eine lineare Transformation der Behandlung , so dass der Ausgang ist .
Im Fall dieses linearen Sensors kann ich die "Umwandlungsverstärkung" extrahieren, dh die Anzahl der Photonen, die erforderlich sind, um eine digitale Ausgabe von eins zu erzeugen, dargestellt als in Einheiten von (Photonen / digitales #), als
Betrachten Sie nun jedoch einen Sensor, bei dem die Umwandlungsverstärkung linear vom Eingang abhängt, z. B. wobei und . Dies bedeutet, dass die Verstärkung eine zunehmende Funktion des Signals .
Bei diesem nichtlinearen Sensor kann die Verstärkung nicht mehr aus dem Verhältnis von Mittelwert zu Varianz am Ausgang ermittelt werden
Tatsächlich ist die gemessene Wandlungsverstärkung für jeden Eingangssignalpegel größer als die tatsächliche Wandlungsverstärkung.
Ein Teil der Erklärung dafür ist Jensens Ungleichung, die besagt, dass für eine zunehmende konkave Transformation einer zufälligen Eingabe , dh :
In meinem Fall ist tatsächlich eine zunehmende konkave Funktion, was bedeutet, dass der gemessene Mittelwert am Ausgang kleiner ist als der transformierte Mittelwert des Eingangs. Da wir wissen, dass die gemessene Verstärkung am Ausgang überschätzt und der gemessene Mittelwert unterschätzt wird, bedeutet dies, dass die gemessene Varianz noch stärker unterschätzt wird als der Mittelwert .
Wie kann ich das beweisen oder mathematisch schreiben? Gibt es eine Verallgemeinerung von Jensens Ungleichung für die Varianz? Kann ich genau zeigen, warum der Gewinn in diesem Beispiel überschätzt wird?
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Antworten:
Es gibt keine Beziehung zwischen den beiden Größen und für konkaves . Hier sind die Beispiele, um dies zu demonstrieren:f(Var[X]) Var[f(X)] f
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