Nehmen wir an, wir haben Stichproben von zwei unabhängigen Bernoulli-Zufallsvariablen, und .B e r ( θ 2 )
Wie beweisen wir, dass ?
Angenommen, .
distributions
sampling
bernoulli-distribution
Ein alter Mann im Meer.
quelle
quelle
Antworten:
Setzen Sie ,b=√a = θ1( 1 - θ1)√n1√ ,
A=(ˉX1-θ1)/a,
B=(ˉX2-θ2)/b. Wir haben
A→dN(0,1),B→dN(0,1). In Bezug auf charakteristische Funktionen bedeutet dies
ϕA(t)≡Eeb = θ2( 1 - θ2)√n2√ A = ( X¯1- θ1) / a B = ( X¯2- θ2) / b A →dN( 0 , 1 ) , B → dN( 0 , 1 )
Wir wollen beweisen, dass
D:= a
Da und B unabhängig sind, ist ϕ D ( t ) = ϕ A ( aEIN B
wie wir es sein wollen.
Dieser Beweis ist unvollständig. Hier brauchen wir einige Schätzungen für die gleichmäßige Konvergenz der charakteristischen Funktionen. Im vorliegenden Fall können wir jedoch explizite Berechnungen durchführen. Setze . ϕ X 1 , 1 ( t )p = θ1, M = n 1
alst3m-3/2→0. Somit kann für eine festet,
φD(t)=(1-eine2t2
Es ist zu beachten, dass ähnliche Berechnungen für beliebige (nicht notwendigerweise Bernoulli) Verteilungen mit endlichen zweiten Momenten unter Verwendung der Erweiterung der charakteristischen Funktion in Bezug auf die ersten beiden Momente durchgeführt werden können.
quelle
Der Beweis Ihrer Aussage ist gleichbedeutend mit dem Beweis des (Levy-Lindenberg-) zentralen Grenzwertsatzes, der besagt
Dann ist es leicht zu sehen, wenn wir setzen
und
quelle