Wenn

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Ich bin auf einen Beweis für eine der Eigenschaften des ARCH-Modells gestoßen, der besagt, dass, wenn , { X t } stationär ist, wenn p i = 1 b i < 1 ist, wobei das ARCH-Modell:E(Xt2)<{Xt}ich=1pbich<1

Xt=σtϵt

σt2=b0+b1Xt12+...bpXtp2

Der Hauptgedanke der nachzuweisen ist , zu zeigen , dass kann als AR (p) -Prozess und wenn geschrieben werden Σ p i = 1 b i < 1 gilt, dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Polynoms liegen außerhalb des Einheitskreises und daher ist { X 2 t } stationär. Dann heißt es, dass also { X t } stationär ist. Wie folgt das?Xt2i=1pbi<1{Xt2}{Xt}

Schüler
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Im Allgemeinen nicht. Sie können sich einen Prozess vorstellen, bei dem stationär ist, aber X t = Xt in bestimmten Intervallen, aberXt=-Xt=Xt2 in einem anderen Zeitintervall. Vielleicht weit hergeholt, aber eine mathematische Möglichkeit. Xt=Xt2
kjetil b halvorsen

Antworten:

2

Xt2Xt Xt

Xt2Xt

2nd

  1. E(Xt)< tZ
  2. Veinr(Xt)=m tZ
  3. Cov(Xt,Xt+h)=γx(h) hZ

E(Xt)=E(E(Xt|Ft1))=0

E(XtXt-1)=E(σtϵtσt-1ϵt-1)=E(E(σtϵtσt-1ϵt-1)|Ft-1)=E(σtσt-1E(ϵt-1ϵt)|Ft-1))=0

Aber um die zweite Bedingung zu beweisen, mussten sie eine konstante bedingungslose Varianz von beweisenXt

Var(Xt)=Var(Xt1)=Var(Xt2)=...=m

Xt2AR(p)

Var(Xt)=E(Var(Xt)|Ft1)+Var(E(Xt|Ft1))=E(Var(ut|Ft1))becausethelasttermis0=E(b0+b1Xt12+...bpXtp2)=b0+b1E(Xt12)+...bpE(Xtp2)=b0+b1var(Xt1)+...bpvar(Xtp)
If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and Σbi<1 This makes it possible to write:
var(Xt1)=...=var(Xtp)=b01b1...bpwhichisalasconstant!
machazthegamer
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