Wenn

Ich bin auf einen Beweis für eine der Eigenschaften des ARCH-Modells gestoßen, der besagt, dass, wenn , { X t } stationär ist, wenn ∑ p i = 1 b i < 1 ist, wobei das ARCH-Modell:$\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

Der Hauptgedanke der nachzuweisen ist , zu zeigen , dass kann als AR (p) -Prozess und wenn geschrieben werden Σ p i = 1 b i < 1 gilt, dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Polynoms liegen außerhalb des Einheitskreises und daher ist { X 2 t } stationär. Dann heißt es, dass also { X t } stationär ist. Wie folgt das?$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

$X^2_t$$X_t$ $X_t$

$X^2_t$$X_t$

$2^{nd}$

1. $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

Aber um die zweite Bedingung zu beweisen, mussten sie eine konstante bedingungslose Varianz von beweisen$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

$X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ If X^2_t is stationary then the roots of the polynomial would lie out of the unit circle and $\Sigma b_i<1$ This makes it possible to write: $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$