Das geometrische Mittel ist ein unvoreingenommener Schätzer für den Mittelwert welcher kontinuierlichen Verteilung?

Gibt es eine kontinuierliche Verteilung, die in geschlossener Form ausgedrückt werden kann und deren Mittelwert so ist, dass der geometrische Mittelwert der Stichproben ein unverzerrter Schätzer für diesen Mittelwert ist?

Update: Ich habe gerade festgestellt, dass meine Stichproben positiv sein müssen (sonst existiert das geometrische Mittel möglicherweise nicht), sodass Kontinuierlich möglicherweise nicht das richtige Wort ist. Wie wäre es mit einer Verteilung, die für negative Werte der Zufallsvariablen Null und für positive Werte stetig ist. So etwas wie eine abgeschnittene Verteilung.

Ich glaube, Sie fragen sich, was, wenn überhaupt, die Verteilung eines rv , so dass, wenn wir eine iid-Stichprobe der Größe n > 1 aus dieser Verteilung haben, diese gilt$X$$n>1$

$$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$$

Aufgrund der iid-Annahme haben wir

$$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$$

und so fragen wir, ob wir haben können

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Aber durch Jensens Ungleichung und die Tatsache, dass die Potenzfunktion für Kräfte, die höher als die Einheit sind, streng konvex ist, haben wir das, fast sicher für eine nicht entartete (nicht konstante) Zufallsvariable,

$$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$$

Es gibt also keine solche Verteilung.

In Bezug auf die Erwähnung der logarithmischen Normalverteilung in einem Kommentar gilt, dass das geometrische Mittel ( ) der Stichprobe aus einer logarithmischen Normalverteilung ein voreingenommener, aber asymptotisch konsistenter Schätzer des Medians ist$GM$ . Dies liegt daran, dass für die logarithmische Normalverteilung dies gilt

$$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$$

(wobei und $\mu$$\sigma$ die Parameter der zugrunde liegenden Normalen sind, nicht der Mittelwert und die Varianz der logarithmischen Normalen).

In unserem Fall ist $s = 1/n$ also bekommen wir

$$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$$

(was uns sagt, dass es ein voreingenommener Schätzer des Medians ist). Aber

$$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$$

Das ist der Median der Verteilung. Man kann auch zeigen, dass die Varianz des geometrischen Mittels der Stichprobe gegen Null konvergiert, und diese beiden Bedingungen reichen aus, damit dieser Schätzer asymptotisch konsistent ist - für den Median,

$$GM \to_p e^{\mu}$$

This is a similar argument to Alecos's excellent answer since the arithmetic mean, geometric mean inequality is a consequence of Jensen's inequality.

• Let $A_n$ be the arithmetic mean: $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

• Let $G_n$ be the geometric mean: $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

The arithmetic mean, geometric mean inequality states that $A_n \geq G_n$ with equality if and only if every observation is equal: $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$. (The AMGM inequality is a consequence of Jensen's inequality.)

Case 1: $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$ almost surely

Then $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$.

In some sense, this is an entirely degenerate case.

Case 2: $P(X_i \neq X_j) > 0$ for $i\neq j$

Then there's positive probability that the geometric mean is smaller than the arithmetic mean. Since for all outcomes $G_n \leq A_n$ and $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$, we then have $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$.