Das geometrische Mittel ist ein unvoreingenommener Schätzer für den Mittelwert welcher kontinuierlichen Verteilung?

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Gibt es eine kontinuierliche Verteilung, die in geschlossener Form ausgedrückt werden kann und deren Mittelwert so ist, dass der geometrische Mittelwert der Stichproben ein unverzerrter Schätzer für diesen Mittelwert ist?

Update: Ich habe gerade festgestellt, dass meine Stichproben positiv sein müssen (sonst existiert das geometrische Mittel möglicherweise nicht), sodass Kontinuierlich möglicherweise nicht das richtige Wort ist. Wie wäre es mit einer Verteilung, die für negative Werte der Zufallsvariablen Null und für positive Werte stetig ist. So etwas wie eine abgeschnittene Verteilung.

user53608
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Eine Verteilung kann kontinuierlich sein, während ein streng positiver Probenraum vorliegt (z. B. die Gammaverteilung).
Gammer
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Meinen Sie auch ein Beispiel, bei dem das geometrische Mittel einer Stichprobe ein unvoreingenommener Schätzer des ersten Augenblicks ist? Ich habe bisher nur das geometrische Mittel eines diskreten Datensatzes gesehen und eine unsichere, wie das "wahre" (dh bevölkerungsbezogene) geometrische Mittel für eine kontinuierliche Verteilung definiert werden würde ... Vielleicht exp(E(log(X))) ?
Gammer
Es funktioniert für die logarithmische Normalverteilung.
Michael R. Chernick
Es gilt, wenn die Zufallsvariable fast sicher einer positiven Skalarkonstante c entspricht . Nicht anders. Xc
Matthew Gunn

Antworten:

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Ich glaube, Sie fragen sich, was, wenn überhaupt, die Verteilung eines rv , so dass, wenn wir eine iid-Stichprobe der Größe n > 1 aus dieser Verteilung haben, diese giltXn>1

E[GM]=E[(i=1nXi)1/n]=E(X)

Aufgrund der iid-Annahme haben wir

E[(i=1nXi)1/n]=E(X11/n...Xn1/n)=E(X11/n)...E(Xn1/n)=[E(X1/n)]n

und so fragen wir, ob wir haben können

[E(X1/n)]n=E(X)

Aber durch Jensens Ungleichung und die Tatsache, dass die Potenzfunktion für Kräfte, die höher als die Einheit sind, streng konvex ist, haben wir das, fast sicher für eine nicht entartete (nicht konstante) Zufallsvariable,

[E(X1/n)]n<E[(X1/n)]n=E(X)

Es gibt also keine solche Verteilung.

In Bezug auf die Erwähnung der logarithmischen Normalverteilung in einem Kommentar gilt, dass das geometrische Mittel ( ) der Stichprobe aus einer logarithmischen Normalverteilung ein voreingenommener, aber asymptotisch konsistenter Schätzer des Medians istGM . Dies liegt daran, dass für die logarithmische Normalverteilung dies gilt

E(Xs)=exp{sμ+s2σ22}

(wobei und σμσ die Parameter der zugrunde liegenden Normalen sind, nicht der Mittelwert und die Varianz der logarithmischen Normalen).

In unserem Fall ist s=1/n also bekommen wir

E(GM)=[E(X1/n)]n=[exp{(μ/n)+σ22n2}]n=exp{μ+σ22n}

(was uns sagt, dass es ein voreingenommener Schätzer des Medians ist). Aber

lim[E(X1/n)]n=limexp{μ+σ22n}=eμ

Das ist der Median der Verteilung. Man kann auch zeigen, dass die Varianz des geometrischen Mittels der Stichprobe gegen Null konvergiert, und diese beiden Bedingungen reichen aus, damit dieser Schätzer asymptotisch konsistent ist - für den Median,

GMpeμ
Alecos Papadopoulos
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Maybe it should be added that Jensen's inequality, applied with a strictly convex function, is an equality only if X is a.s. constant.
Olivier
@Olivier: I think that's a well enough known property that it may just add clutter to include it. In any case, Jensen's inequality is not really even needed since considering the case n=2 is already enough coupled with the fact Var(X)=0 implies X=0 almost surely by an even more elementary argument.
cardinal
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This is a similar argument to Alecos's excellent answer since the arithmetic mean, geometric mean inequality is a consequence of Jensen's inequality.

  • Let An be the arithmetic mean: An=1ni=1nXi

  • Let Gn be the geometric mean: Gn=(i=1Xi)1n

The arithmetic mean, geometric mean inequality states that AnGn with equality if and only if every observation is equal: X1=X2==Xn. (The AMGM inequality is a consequence of Jensen's inequality.)

Case 1: X1=X2==Xn almost surely

Then E[Gn]=E[An]=E[X].

In some sense, this is an entirely degenerate case.

Case 2: P(XiXj)>0 for ij

Then there's positive probability that the geometric mean is smaller than the arithmetic mean. Since for all outcomes GnAn and E[An]=E[X], we then have E[Gn]<E[X].

Matthew Gunn
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