Ich habe Probleme, online eine Ressource zu finden, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung des univariaten Schülers ableitet. Kennt jemand eine solche Ressource?
Da keine Ressource vorhanden ist, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung ableitet, versuche ich, sie selbst abzuleiten, stecke aber fest. Hier ist meine bisherige Arbeit:
yi∼t(μ,σ2,v) wobei der Parameter für die Freiheitsgrade (df) ist (als fest angenommen). Dann:
v
f(yi)=Γ(v+12)Γ(v2)πvσ2−−−−√(1+1vσ2(yi−μ)2)−(v+1)2
Wir haben also die folgende Log-Likelihood-Funktion :
logf(yi)=logΓ(v+12)−logΓ(v2)−12log(πvσ2)+−(v+1)2log[1+1vσ2(yi−μ)2]
Hier die ersten abgeleiteten Gleichungen :
∂∂μlogf(yi)=v+122vσ2(yi−μ)1+1vσ2(yi−μ)2∂∂σ2logf(yi)=−12σ2−(v+1)2−1vσ4(yi−μ)21+1vσ2(yi−μ)2
Und hier sind die Gleichungen der 2. Ableitung:
∂∂μ2l o gf( yich) = v + 12- 2v σ2+ 2dv2σ4( yich- μ )2( 1+1v σ2( yich- μ )2)2∂∂μ ∂σ2l o gf( yich) = v + 12{ [2v σ2- 4v2σ6( yich- μ )2] [ 1 + 1v σ2( yich- μ )2]]2- [ - 2v σ2+ 2v2σ4( yich- μ )2] ∗ 2 [ 1 + 1v σ2( yich- μ )2]] [ - 1v σ4( yich- -μ )2] }/ { [1+ 1vσ2(yich- μ)2]]4} . . . . . wirklich chaotisch!∂∂( σ2)2l ogf( yich) = 12 σ4- ( v + 1 )21v σ6( yich- μ )2[ 1 + 1v σ2( yich- μ )2]]2
Schließlich wird die erwartete Fischerinformationsmatrix wie folgt berechnet:
ich= - E ( ⎡⎣⎢∂2∂μ2l ogf( yich)∂∂μ ∂σ2l ogf( yich)∂∂μ ∂σ2l ogf( yich)∂2∂( σ2)2l ogf( yich)⎤⎦⎥)
Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich diese Erwartungen berechnen soll. Ist jemandem eine Ressource bekannt, die dies getan hat? Ehrlich gesagt, die einzige Menge, die mich interessiert, ist: , würde kann mir wenigstens jemand helfen, das zu berechnen?- E [ ∂2∂( σ2)2l ogf( yich) ]
FisherInformation
mathStatica
Es ist nicht schwierig (aber ein bisschen langweilig), die Formel Beachten Sie zunächst, dass durch die Änderung der Variablen in einem beliebigen beteiligten Integral in die Berechnungen einbezogen werden kann .
Die Berechnungen beruhen auf dem folgenden Integral: Diese Gleichheit wird durch die Änderung der Variablen und mit Hilfe der Dichte der Beta-Primverteilung erhalten .
Beachten Sie, dass der Integrand eine gerade Funktion ist, wenn eine gerade ganze Zahl ist, daher2 a - 1
Ich werde nur die erste Berechnung detaillieren. Setze die Normalisierungskonstante der Dichte.
Man hat Da , wir finden Die zweite Berechnung ist einfach:
Schließlich ist die Berechnung von umso mühsamer und Ich überspringe es. Seine Berechnung beinhaltet Integrale mit gerader Ganzzahl, deren Wert oben angegeben ist.
Ich habe die Berechnungen durchgeführt und und dies vereinfacht sich zu ν
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