Erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung des Schülers?

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Ich habe Probleme, online eine Ressource zu finden, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung des univariaten Schülers ableitet. Kennt jemand eine solche Ressource?

Da keine Ressource vorhanden ist, die die erwartete Fisher-Informationsmatrix für die T-Verteilung ableitet, versuche ich, sie selbst abzuleiten, stecke aber fest. Hier ist meine bisherige Arbeit:

yit(μ,σ2,v) wobei der Parameter für die Freiheitsgrade (df) ist (als fest angenommen). Dann: v

f(yi)=Γ(v+12)Γ(v2)πvσ2(1+1vσ2(yiμ)2)(v+1)2

Wir haben also die folgende Log-Likelihood-Funktion :

logf(yi)=logΓ(v+12)logΓ(v2)12log(πvσ2)+(v+1)2log[1+1vσ2(yiμ)2]

Hier die ersten abgeleiteten Gleichungen :

μlogf(yi)=v+122vσ2(yiμ)1+1vσ2(yiμ)2σ2logf(yi)=12σ2(v+1)21vσ4(yiμ)21+1vσ2(yiμ)2

Und hier sind die Gleichungen der 2. Ableitung:

μ2logf(yi)=v+122vσ2+2dv2σ4(yiμ)2(1+1vσ2(yiμ)2)2μσ2logf(yi)=v+12{[2vσ24v2σ6(yiμ)2][1+1vσ2(yiμ)2]2[2vσ2+2v2σ4(yiμ)2]2[1+1vσ2(yiμ)2][1vσ4(yiμ)2]}/{[1+1vσ2(yiμ)2]4}.....really messy!(σ2)2logf(yi)=12σ4(v+1)21vσ6(yiμ)2[1+1vσ2(yiμ)2]2

Schließlich wird die erwartete Fischerinformationsmatrix wie folgt berechnet:

I=E([2μ2logf(yi)μσ2logf(yi)μσ2logf(yi)2(σ2)2logf(yi)])

Ich habe jedoch keine Ahnung, wie ich diese Erwartungen berechnen soll. Ist jemandem eine Ressource bekannt, die dies getan hat? Ehrlich gesagt, die einzige Menge, die mich interessiert, ist: , würde kann mir wenigstens jemand helfen, das zu berechnen?E[2(σ2)2logf(yi)]

bayes003
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Antworten:

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Ich wurde darauf aufmerksam gemacht, dass Lange et al. 1989 die erwarteten Fisher-Informationen für die multivariate t-Verteilung in Anhang B abgeleitet haben. Daher habe ich die gewünschte Antwort erhalten. Sie können diese Frage als beantwortet betrachten!

Insbesondere habe ich unter Verwendung des Ergebnisses von Lange et al. Die folgende Fisher-Informationsmatrix für die univariate t-Verteilung (mit festem Freiheitsgradparameter ) abgeleitet:v

I=[v+1(v+3)σ200v2(v+3)σ4]
bayes003
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Gibt es eine Referenz, in der die Fisher-Informationsmatrix für Parameter mit variablen Freiheitsgraden abgeleitet wurde, dh eine dreidimensionale Fisher-Informationsmatrix, in der Maßstab, Ort und Freiheitsgrade angegeben sind?
uday
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Ich habe die gleiche Frage. Haben wir eine 3x3 Fisher-Matrix, die den nu-Parameter enthält?
Riemann1337
Das FisherInformationmathStatica
obige
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Es ist nicht schwierig (aber ein bisschen langweilig), die Formel Beachten Sie zunächst, dass durch die Änderung der Variablen in einem beliebigen beteiligten Integral in die Berechnungen einbezogen werden kann .

I(μ,σ2)=E[((μlogf(Y))2(μlogf(Y))(σlogf(Y))(μlogf(Y))(σlogf(Y))(σ2logf(Y))2)].
yyμμ=0

Die Berechnungen beruhen auf dem folgenden Integral: Diese Gleichheit wird durch die Änderung der Variablen und mit Hilfe der Dichte der Beta-Primverteilung erhalten .

I(λ,a,b):=0y2a1(1+1λy2)2a+b2dy=λa2B(a,b2).
yy2

Beachten Sie, dass der Integrand eine gerade Funktion ist, wenn eine gerade ganze Zahl ist, daher 2a1

J(λ,a,b):=+y2a1(1+1λy2)p+1+b2dy=2I(λ,a,b)=λaB(a,b2).

Ich werde nur die erste Berechnung detaillieren. Setze die Normalisierungskonstante der Dichte.

K(ν,σ)=1B(12,ν2)1νσ2,

Man hat Da , wir finden Die zweite Berechnung ist einfach:

E[(μlogf(Y))2]=K(ν,σ)(ν+1νσ2)2J(νσ2,32,ν+2).
B.(12,ν2)B.(32,ν+22)=B.(12,ν2)B.(32,ν2)B.(32,ν2)B.(32,ν+22)=(ν+1)1(ν+3)ν
E.[(μLogf(Y.))2]]=νν+3(ν+1)(νσ2)- -1/.2- -2+3/.2=ν+1(ν+3)σ2.
E.[(μLogf(Y.))(σLogf(Y.))]]=0
da es sich nur um Integrale ungerader Funktionen handelt.

Schließlich ist die Berechnung von umso mühsamer und Ich überspringe es. Seine Berechnung beinhaltet Integrale mit gerader Ganzzahl, deren Wert oben angegeben ist.

E.[(σ2Logf(Y.))2]]
J.(νσ2,ein,b)2ein- -1

Ich habe die Berechnungen durchgeführt und und dies vereinfacht sich zu ν

(ν+1)24(νσ4)2K.(ν,σ2)J.(νσ2,52,ν)- -ν+12νσ6K.(ν,σ2)J.(νσ2,32,ν)+14σ4
ν2(ν+3)σ4.
Stéphane Laurent
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