Ist der Durchschnitt von positiv-definitiven Matrizen auch positiv-definitiv?

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Ist der Durchschnitt mehrerer positiv-bestimmter Matrizen notwendigerweise positiv-bestimmter oder positiver halb-bestimmter? Der Durchschnitt ist elementweise Durchschnitt.

Wis
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Durchschnitt ist nur Summe, gefolgt von Skalierung. Gilt das für jeden von denen?
Mehrdad

Antworten:

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Ja ist es. jth asnwer ist richtig (+1), aber ich denke, Sie können eine sehr einfache Erklärung mit nur der grundlegenden linearen Algebra erhalten.

Angenommen, und B sind positiv definierte Matrizen für Größe n . Per Definition bedeutet dies , dass für alle u R n , 0 < U T A u und 0 < u T B U . Dies bedeutet, dass 0 < u T A u + u T B u oder äquivalent 0 < u T ( A + B ) u ist . dh ( AEINBnuRn0<uTEINu0<uTBu0<uTEINu+uTBu0<uT(EIN+B)u muss positiv definitiv sein.(EIN+B)

usεr11852 sagt Reinstate Monic
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Natürlich. Die Menge positiver bestimmter Matrizen bildet einen Kegel , das heißt, sie wird unter positiven Linearkombinationen und Skalierungen geschlossen.

nth
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