Was ist der Unterschied / die Beziehung zwischen Momentenmethode und GMM?

Kann mir jemand den Unterschied zwischen Momentenmethode und GMM (General Method of Moments), ihre Beziehung und wann sollte die eine oder andere verwendet werden?

Sowohl MOM als auch GMM sind sehr allgemeine Methoden zur Schätzung der Parameter statistischer Modelle. GMM ist - wie der Name schon sagt - eine Verallgemeinerung von MOM. Es wurde von Lars Peter Hansen entwickelt und erstmals in Econometrica veröffentlicht. Da es zu diesem Thema zahlreiche Lehrbücher gibt (z. B. [2]), möchten Sie hier vermutlich eine nichttechnische Antwort.

Traditionelle oder klassische Methode des Momentenschätzers

Der MOM-Schätzer ist ein konsistenter, aber ineffizienter Schätzer. Es sei ein Datenvektor y angenommen, der durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erzeugt wurde, die durch einen Parametervektor Theta mit k Elementen indiziert wurde. Bei der Methode der Momente wird Theta geschätzt, indem k Abtastmomente von y berechnet werden, diese gleich den aus der angenommenen Wahrscheinlichkeitsverteilung abgeleiteten Populationsmomenten gesetzt und nach Theta aufgelöst werden. Beispielsweise ist das Populationsmoment von mu die Erwartung von y, wohingegen das Stichprobenmoment von mu das Stichprobenmittel von y ist. Sie würden dies für jedes der k Elemente von Theta wiederholen. Da Stichprobenmomente im Allgemeinen konsistente Schätzer für Populationsmomente sind, ist Theta-Hat für Theta konsistent.

Verallgemeinerte Methode der Momente

In dem obigen Beispiel hatten wir die gleiche Anzahl von Momentbedingungen wie unbekannte Parameter. Alles, was wir getan hätten, wäre, die k Gleichungen in k Unbekannten zu lösen, um die Parameterschätzungen zu erhalten. Hansen fragte: Was passiert, wenn wir mehr Momentbedingungen haben als Parameter, wie sie normalerweise in ökonometrischen Modellen auftreten? Wie können wir sie optimal kombinieren? Das ist der Zweck des GMM-Schätzers. In GMM schätzen wir den Parametervektor, indem wir die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den Populationsmomenten und den Stichprobenmomenten unter Verwendung der Varianz der Momente als Metrik minimieren. Dies ist der Schätzer für die minimale Varianz in der Klasse der Schätzer, die diese Momentbedingungen verwenden.

[1] Hansen, LP (1982): Large Sample Properties von Generalized Method of Moments Estimators, Econometrica , 50, 1029–1054

[2] Hall, AR (2005). Verallgemeinerte Methode der Momente (Fortgeschrittene Texte in der Ökonometrie). Oxford University Press