Ist die Poisson-Verteilung stabil und gibt es Inversionsformeln für den MGF?

Zunächst habe ich eine Frage, ob die Poisson-Verteilung "stabil" ist oder nicht. Sehr naiv (und ich bin mir bei "stabilen" Verteilungen nicht sicher) habe ich die Verteilung einer linearen Kombination von Poisson-verteilten Wohnmobilen unter Verwendung des Produkts des MGF ausgearbeitet. Es sieht so aus, als würde ich einen anderen Poisson bekommen, dessen Parameter der linearen Kombination der Parameter der einzelnen Wohnmobile entspricht. Daraus schließe ich, dass Poisson "stabil" ist. Was vermisse ich?

Zweitens gibt es Inversionsformeln für den MGF wie für die charakteristische Funktion?

distributions poisson-distribution mgf Frank
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Es wird unter (unabhängigen) Summen geschlossen , aber nicht unter beliebigen linearen Kombinationen. Wenn Sie Ihre Arbeit einbeziehen, werden Sie vermutlich am Ende sehen, warum dies so ist. und wenn nicht, kann jemand darauf hinweisen. Ja, es gibt einige Inversionsanaloga zu charakteristischen Funktionen. Was wissen Sie über die Laplace-Transformation und die Bromwich-Konturintegration?

Kardinal

OK, ich gehe zurück zum Zeichenbrett. Ich habe den MGF des i-ten Poisson als: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Das Produkt von n Poisson-MGFs ergibt also: exp (Summe (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)) und ich nehme das neue Lambda = Summe (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Jetzt fürchte ich, ich werde dumm aussehen, weil ich einen offensichtlichen Fehler gemacht habe. - Ich kenne die Laplace-Transformation und Konturintegration im Allgemeinen, aber nicht die Bromwish-Konturintegration. - Würden Sie empfehlen, eher mit den CFs als mit den MGFs im Allgemeinen zu arbeiten? Es scheint mächtiger.

Frank

Was ist das

in Ihrem Kommentar? Umgeben Sie Ihr math-LaTeX außerdem mit Dollarzeichen, damit es funktioniert (verwenden Sie \ exp, um das "exp" richtig aussehen zu lassen, und \ lambda, um ein

, \ sum für

usw. zu

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

erstellen

Ja, ich bin nicht sehr gut in LaTex, aber hier geht es weiter. Meine lineare Kombination von RVs ist also:

, und das Produkt ihrer MGFs ist:

, wenn ich bin richtig, wenn die RVs als verteilte

\sum_{ich = 0}^{n} α_{ich} {X.}_{ich}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$ . Ich hatte für alle Wohnmobile das gleiche t verwendet, aber ich muss

t_{i}

$t_{i}$

Frank

Der Fehler ist , daß das MGF von

ist

und nicht die

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

gui11aume

Antworten:

Lineare Kombinationen von Poisson-Zufallsvariablen

Wie Sie berechnet haben, die Moment-erzeugende Funktion der Poisson - Verteilung mit Rate ist $\lambda$

m_{X.} (t) = E. e^{t X.} = e^{λ (e^{t} - - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

Lassen Sie uns jetzt konzentrieren sich auf eine lineare Kombination von unabhängigen Poisson Zufallsvariablen und . Let . Dann ist $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z.} (t) = E. e^{t Z.} = E. e^{t (ein X. + b Y.)} = E. e^{t (ein X.)} E. e^{t (b Y.)} = m_{X.} (ein t) m_{Y.} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

Wenn also die Rate und die Rate , erhalten wir $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$ Und dies kann nicht im Allgemeinen in der Form geschrieben werden für einige es sei denn .

m_{Z.} (t) = \exp (λ_{x} (e^{ein t} - - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - - 1)) = \exp (λ_{x} e^{ein t} + λ_{y} e^{b t} - - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

Inversion von Momenterzeugungsfunktionen

$\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

Die Inversion kann dann entweder über das Bromwich-Integral oder die Post-Inversionsformel erfolgen . Eine probabilistische Interpretation des letzteren findet sich als Übung in mehreren klassischen Wahrscheinlichkeitstexten.

Obwohl nicht direkt verwandt, könnte Sie auch der folgende Hinweis interessieren.

JH Curtiss (1942), Eine Anmerkung zur Theorie der Momenterzeugungsfunktionen , Ann. Mathematik. Stat. vol. 13, nein. 4, S. 430–433.

Die zugehörige Theorie wird häufiger für charakteristische Funktionen entwickelt, da diese vollständig allgemein gehalten sind: Sie existieren für alle Verteilungen ohne Unterstützung oder Momenteinschränkungen.

Kardinal
quelle

(+1) Ist die Inversionsformel rein theoretisch oder wird sie manchmal tatsächlich verwendet?

gui11aume

@ gui11aume: Es wird an Orten verwendet; Die Beispiele, die Sie normalerweise in einem Text finden, sind normalerweise genau die Beispiele, für die Sie sie nicht benötigen. :)

Kardinal

Vermutlich ist es also einfacher, mit den CFs zu arbeiten als mit den MGFs? Die MGFs existieren nicht immer, oder? Warum sich mit ihnen beschäftigen?

Frank

@Frank: Pädagogisch sind sie für Schüler, die sich mit Kalkül auskennen, aber wenig oder gar keinen Hintergrund in komplexen Variablen haben, einfacher einzuführen. Wenn sie existieren, haben sie völlig analoge Eigenschaften wie CFs. Sie spielen eine wichtige Rolle in einigen Teilen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der theoretischen Statistik, z. B. bei großen Abweichungen und exponentiellen Neigungen.

Kardinal

α

$\alpha$

$X$ $X/2$

Mir sind keine Inversionsformeln für MGF bekannt (aber @cardinal scheint es zu sein).

gui11aume
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(+1) Weil ich einfache illustrative Beweise und Gegenbeispiele mag, die das Herz der Sache sofort in den Vordergrund rücken.

Kardinal

Ich habe eine Frage zur Terminologie. In der Statistik habe ich stabile Verteilungen untersucht, die Verteilungsgrenzen waren, die eine Konvergenzbedingung erfüllten, die als stabiles Gesetz bezeichnet wird. Dies sind kontinuierliche nicht normale Verteilungen. Dies ist eine Verteilung für die Grenzen eines normalisierten Durchschnitts Z, aber der zentrale Grenzwertsatz wird aufgrund des Schwanzverhaltens der Populationsverteilung nicht auf Z angewendet. Tatsächlich kann der zentrale Grenzwertsatz zu den stabilen Gesetzen gehören, wenn ein bestimmter Parameter alpha = 2 ist.

Michael R. Chernick

Was Sie hier als stabil bezeichnen, ist näher an den Summen, was mir eher wie der Begriff unendlich teilbar erscheint. In welchen Bereichen wird hierfür der Begriff stabil verwendet? Wird es in Wahrscheinlichkeit und Statistik verwendet?

Michael R. Chernick

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$