Referenz für

In seiner Antwort auf meine vorherige Frage gibt @Erik P. den Ausdruck Wobei κ ist der Überschuss Kurtosis der Verteilung. Es wird auf den Wikipedia-Eintrag zurVerteilung der Stichprobenvarianzverwiesen, auf der Wikipedia-Seite steht jedoch "Zitieren erforderlich".

Meine Hauptfrage ist, gibt es eine Referenz für diese Formel? Ist es 'trivial' abzuleiten, und wenn ja, kann es in einem Lehrbuch gefunden werden? (@Erik P. konnte es weder in der mathematischen Statistik und Datenanalyse noch in der statistischen Inferenz von Casella und Berger finden . Obwohl das Thema behandelt wird.

Es wäre schön, eine Lehrbuchreferenz zu haben, aber noch nützlicher wäre es, eine (die) Primärreferenz zu haben.

(Eine verwandte Frage ist: Wie ist die Verteilung der Varianz einer Stichprobe von einer unbekannten Verteilung? )

Update : @cardinal wies auf eine andere Gleichung in math.SE hin : wobeiμ4das vierte zentrale Moment ist.

Gibt es eine Möglichkeit, die Gleichungen neu anzuordnen und die beiden aufzulösen, oder ist die Gleichung im Titel falsch?

Quelle: Einführung in die Theorie der Statistik , Mood, Graybill, Boes, 3. Auflage, 1974, p. 229.

Ableitung: Beachten Sie, dass im Wikipedia-Link des OP nicht die Kurtosis ist, sondern die überschüssige Kurtosis, die "reguläre" Kurtosis - 3. Um zur "regulären" Kurtosis zurückzukehren, müssen wir 3 an der entsprechenden Stelle in der hinzufügen Wikipedia-Formel.$\kappa$

Wir haben von MGB:

$\text{Var}[S^2] = {1\over{n}}(\mu_4 - {{n-3}\over{n-1}}\sigma^4)$

was unter Verwendung der Identität angeordnet werden kann (Ableitung meiner, also auch Fehler):$\mu_4 = (\kappa + 3)\sigma^4$

$= {1\over{n}}(\kappa \sigma^4 + {{n-1}\over{n-1}}3\sigma^4 -{{n-3}\over{n-1}}\sigma^4) = \sigma^4\left({\kappa \over{n}}+{3(n-1)-(n-3)\over{n(n-1)}}\right) = \sigma^4\left({\kappa\over{n}} + {{2}\over{n-1}}\right)$

Es ist nicht klar, ob dies Ihren Bedürfnissen nach einer endgültigen Referenz entspricht, aber diese Frage taucht in den Übungen von Casella und Berger auf:

(Seite 364, Übung 7.45 b):

In Bezug auf Übung 5b bietet dies eine andere Variante, in der $\Theta_2$ und $\Theta_4$ sind der zweite und vierte Moment ($\sigma^2$ und $\kappa$), beziehungsweise:

Diese entsprechen der Gleichung, die in einer Antwort auf math.SE angegeben ist :

$\mbox{Var}(S^2)={\mu_4\over n}-{\sigma^4\,(n-3)\over n\,(n-1)}$