Äquivalenz von (0 + Faktor | Gruppe) und (1 | Gruppe) + (1 | Gruppe: Faktor) Zufallseffektspezifikationen bei zusammengesetzter Symmetrie

Douglas Bates gibt an, dass die folgenden Modelle äquivalent sind, "wenn die Varianz-Kovarianz-Matrix für die vektorwertigen Zufallseffekte eine spezielle Form hat, die als zusammengesetzte Symmetrie bezeichnet wird" ( Folie 91 in dieser Präsentation ):

m1 <- lmer(y ~ factor + (0 + factor|group), data)
m2 <- lmer(y ~ factor + (1|group) + (1|group:factor), data)

Insbesondere verwendet Bates dieses Beispiel:

library(lme4)
data("Machines", package = "MEMSS")

m1a <- lmer(score ~ Machine + (0 + Machine|Worker), Machines)
m2a <- lmer(score ~ Machine + (1|Worker) + (1|Worker:Machine), Machines)

mit den entsprechenden Ausgängen:

print(m1a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (0 + Machine | Worker)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 208.3112
Random effects:
 Groups   Name     Std.Dev. Corr     
 Worker   MachineA 4.0793            
          MachineB 8.6253   0.80     
          MachineC 4.3895   0.62 0.77
 Residual          0.9616            
Number of obs: 54, groups:  Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917  

print(m2a, corr = FALSE)

Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
Formula: score ~ Machine + (1 | Worker) + (1 | Worker:Machine)
   Data: Machines
REML criterion at convergence: 215.6876
Random effects:
 Groups         Name        Std.Dev.
 Worker:Machine (Intercept) 3.7295  
 Worker         (Intercept) 4.7811  
 Residual                   0.9616  
Number of obs: 54, groups:  Worker:Machine, 18; Worker, 6
Fixed Effects:
(Intercept)     MachineB     MachineC  
     52.356        7.967       13.917

Kann jemand den Unterschied zwischen den Modellen erklären und wie man m1sich auf m2(gegebene zusammengesetzte Symmetrie) auf intuitive Weise reduziert ?

In diesem Beispiel gibt es drei Beobachtungen für jede Kombination der drei Maschinen (A, B, C) und der sechs Arbeiter. Ich werde , um eine n- dimensionale Identitätsmatrix zu bezeichnen, und 1 n , um einen n- dimensionalen Vektor von Einsen zu bezeichnen. Nehmen wir an, y ist der Vektor der Beobachtungen, von dem ich annehme, dass er vom Arbeiter, dann von der Maschine und dann von der Replikation angeordnet wird. Sei μ der entsprechende Erwartungswert (zB die festen Effekte) und sei γ ein Vektor gruppenspezifischer Abweichungen von den Erwartungswerten (zB die zufälligen Effekte). Bedingt durch γ kann das Modell für y geschrieben werden:$I_n$$n$$1_n$$n$$y$$\mu$$\gamma$$\gamma$$y$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu + \gamma, \sigma^2_y I_{54})$$

wobei die "Rest" -Varianz ist.$\sigma^2_y$

Um zu verstehen, wie die Kovarianzstruktur der Zufallseffekte eine Kovarianzstruktur unter den Beobachtungen induziert, ist es intuitiver, mit der äquivalenten "Rand" -Darstellung zu arbeiten , die über die Zufallseffekte . Die Randform dieses Modells ist,$\gamma$

$$y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_y I_{54} + \Sigma)$$

Hierbei ist eine Kovarianzmatrix, die von der Struktur von γ abhängt (z. B. die den Zufallseffekten zugrunde liegenden "Varianzkomponenten"). Ich werde Σ als "marginale" Kovarianz bezeichnen.$\Sigma$$\gamma$$\Sigma$

In deinem m1zerfallen die zufälligen Effekte wie folgt :

$$\gamma = Z \theta$$

Wo ist eine Design - Matrix , dass die Zufallskoeffizienten auf Beobachtungen abbildet, und θ T = [ θ 1 , A , θ 1 , B , θ 1 , C ... θ 6 , A , & thgr; 6 , B , θ 6 , C ] ist der 18-dimensionale Vektor von zufälligen Koeffizienten, geordnet nach Arbeiter und Maschine, und wird wie folgt verteilt:$Z = I_{18} \otimes 1_3$$\theta^T = [\theta_{1,A}, \theta_{1,B}, \theta_{1,C} \dots \theta_{6,A}, \theta_{6,B}, \theta_{6,C}]$

$$\theta \sim \mathcal{N}(0, I_6 \otimes \Lambda)$$

Hier ist die Kovarianz der Zufallskoeffizienten. Die Annahme einer zusammengesetzten Symmetrie bedeutet, dass Λ zwei Parameter hat, die ich σ θ und τ nennen werde , und die Struktur:$\Lambda$$\Lambda$$\sigma_\theta$$\tau$

$$\Lambda = \left[\begin{matrix} \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 & \tau^2 \\ \tau^2 & \tau^2 & \sigma^2_\theta + \tau^2 \end{matrix}\right]$$

(Mit anderen Worten, in der Korrelationsmatrix, die zugrunde liegt, sind alle Elemente auf der Offdiagonale auf den gleichen Wert gesetzt.)$\Lambda$

Die durch diese zufälligen Effekte induzierte marginale Kovarianzstruktur ist , so dass die Varianz einer gegebenen Beobachtung σ 2 θ + τ 2 + σ 2 y und die Kovarianz zwischen zwei (getrennten) Beobachtungen ist von Arbeitern i , j und Maschinen u , v ist: c o v ( y i , u , y j , v ) $\Sigma = Z (I_6 \otimes \Lambda) Z^T$$\sigma^2_\theta + \tau^2 + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \tau^2 & \text{if } i=j, u\neq v \\ \sigma^2_\theta + \tau^2 & \text{if } i=j, u=v \end{cases}$$

Für Sie m2zerfallen die zufälligen Effekte in:

$$\gamma = Z \omega + X \eta$$

$X = I_6 \otimes 1_9$$\omega^T = [\omega_{1,A}, \omega_{1,B}, \omega_{1,C}, \dots, \omega_{6,A}, \omega_{6,B}, \omega_{6,C}]$$\eta^T = [\eta_{1}, \dots, \eta_{6}]$

$$\eta \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\eta I_6)$$ $$\omega \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_\omega I_{18})$$ $\sigma_\eta^2, \sigma_\omega^2$

m2$\Sigma = \sigma^2_\omega Z Z^T + \sigma^2_\eta X X^T$$\sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta + \sigma^2_y$$i, j$$u, v$

$$\mathrm{cov}(y_{i,u}, y_{j,v}) = \begin{cases} 0 & \text{if } i\neq j \\ \sigma_\eta^2 & \text{if } i=j,u\neq v \\ \sigma^2_\omega + \sigma^2_\eta & \text{if } i=j,u=v \end{cases}$$

So ... $\sigma^2_\theta \equiv \sigma^2_\omega$ and $\tau^2 \equiv \sigma^2_\eta$. If m1 assumed compound symmetry (which it doesn't with your call to lmer, because the random effects covariance is unstructured).

Brevity is not my strong point: this is all just a long, convoluted way of saying that each model has two variance parameters for the random effects, and are just two different ways of writing of the same "marginal" model.

In code ...

sigma_theta <- 1.8
tau         <- 0.5
sigma_eta   <- tau
sigma_omega <- sigma_theta
Z <- kronecker(diag(18), rep(1,3))
rownames(Z) <- paste(paste0("worker", rep(1:6, each=9)), 
                     rep(paste0("machine", rep(1:3, each=3)),6))
X <- kronecker(diag(6), rep(1,9))
rownames(X) <- rownames(Z)
Lambda <- diag(3)*sigma_theta^2 + tau^2

# marginal covariance for m1:
Z%*%kronecker(diag(6), Lambda)%*%t(Z)
# for m2:
X%*%t(X)*sigma_eta^2 + Z%*%t(Z)*sigma_omega^2