Sind inkonsistente Schätzer jemals vorzuziehen?

Konsistenz ist offensichtlich ein natürlicher und wichtiger Eigenschaftsschätzer, aber gibt es Situationen, in denen es besser ist, einen inkonsistenten Schätzer als einen konsistenten zu verwenden?

Gibt es Beispiele für einen inkonsistenten Schätzer, der einen vernünftigen konsistenten Schätzer für alle endlichen (in Bezug auf eine geeignete Verlustfunktion) übertrifft ?$n$

Diese Antwort beschreibt ein realistisches Problem, bei dem ein natürlicher konsistenter Schätzer von einem inkonsistenten Schätzer dominiert wird (übertroffen für alle möglichen Parameterwerte für alle Stichprobengrößen). Die Überlegung, dass Konsistenz am besten für quadratische Verluste geeignet ist, ist eine Motivation. Daher sollte die Verwendung eines davon stark abweichenden Verlusts (z. B. eines asymmetrischen Verlusts) die Konsistenz bei der Bewertung der Leistung von Schätzern nahezu unbrauchbar machen.

Angenommen, Ihr Kunde möchte den Mittelwert einer Variablen (bei der von einer symmetrischen Verteilung ausgegangen wird) aus einer iid-Stichprobe abschätzen , kann ihn jedoch weder (a) unterschätzen noch (b) stark überschätzen es.$(x_1, \ldots, x_n)$

Um zu sehen, wie dies funktionieren könnte, nehmen wir eine einfache Verlustfunktion an und verstehen, dass der Verlust in der Praxis quantitativ (aber nicht qualitativ) von dieser Funktion abweichen kann. Wählen Sie die Maßeinheiten so, dass die größte tolerierbare Überschätzung ist, und legen Sie den Verlust einer Schätzung t fest, wenn der wahre Mittelwert μ gleich 0 ist, wenn μ ≤ t ≤ μ + 1 und ansonsten gleich 1 ist .$1$$t$$\mu$$0$$\mu \le t\le \mu+1$$1$

Besonders einfach sind die Berechnungen für eine Normalverteilungsfamilie mit Mittelwert und Varianz σ 2 > 0 , für die dann der Stichprobenmittelwert ˉ x = $\mu$$\sigma^2 \gt 0$hat eine Normalverteilung(μ,σ2/n). Der Stichprobenmittelwert istbekanntlich (und offensichtlich)ein konsistenter Schätzer fürμ. SchreibenΦfür die Standardnormal CDF, der erwartete Verlust der Probe Mittelwert gleich1/2+Φ(-$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_i x_i$$(\mu, \sigma^2/n)$$\mu$$\Phi$:1/2kommt von der 50% ige Chancedass die Probe Mittelwert wird den wahren Mittelwert und unterschätztΦ(-$1/2 + \Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1/2$ergibt sich aus der Möglichkeit, den wahren Mittelwert um mehr als1 zuüberschätzen.$\Phi(-\sqrt{n}/\sigma)$$1$

Der erwartete Verlust von entspricht dem blauen Bereich unter diesem normalen PDF-Standard. Der rote Bereich gibt den erwarteten Verlust des alternativen Schätzers unten an. Sie unterscheiden sich durch Ersetzen des durchgehend blauen Bereichs zwischen - $\bar{x}$und0durch den kleineren durchgezogenen roten Bereich zwischen$-\sqrt{n}/(2\sigma)$$0$und$\sqrt{n}/(2\sigma)$. Dieser Unterschied wächst mitzunehmendemn.$\sqrt{n}/\sigma$$n$

Ein gegebener alternativer Schätzer durch hat einen erwarteten Verlust von 2 Φ ( - $\bar{x}+1/2$. Die Symmetrie und Unimodalität der Normalverteilungen impliziert, dass der erwartete Verlust immer besser ist als der des Stichprobenmittelwerts. (Dies macht den Stichprobenmittelwertunzulässigfür diesen Verlust.)Tat, der erwartete Verlust des Stichprobenmittelwertes eine untere Grenze von1/2während die die alternativen konvergent zu0alsnwächst. Jedoch ist die alternative eindeutig inkonsistent: alsnwächst, konvergiert es in Wahrscheinlichkeitμ+1/2& ne;μ.$2\Phi(-\sqrt{n}/(2\sigma))$$1/2$$0$$n$$n$$\mu+1/2 \ne \mu$

Blaue Punkte zeigen Verlust für und rote Punkte zeigen Verlust für ˉ x + 1 / 2 als Funktion der Probengröße n .$\bar{x}$$\bar{x}+1/2$$n$