Hat der Unterschied zwischen zwei symmetrischen Wohnmobilen auch eine symmetrische Verteilung?

Wenn ich zwei verschiedene symmetrische (in Bezug auf den Median) Verteilungen und , ist der Unterschied auch eine symmetrische (in Bezug auf den Median) Verteilung? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median Alessio93
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Die Verteilung von ist kein "Unterschied zwischen zwei Verteilungen", sondern die Verteilung des Unterschieds zwischen symmetrisch verteilten Zufallsvariablen. Der Unterschied in den Verteilungen wäre ; das ist keine Verteilung; Ebenso wäre ein Unterschied von PDFs kein PDF ... Bitte ändern Sie Ihre Titelbeschreibung

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: Ich habe den Titel des OP bearbeitet, um dies zu sagen, aber in Zukunft bearbeiten Sie ihn bitte selbst. Umgangssprachlich denke ich, dass jeder verstanden hat, was das OP bedeutete.

smci

@smci Eigentlich habe ich mich aus einem bestimmten Grund dafür entschieden, das OP zu bitten, dies zu tun, anstatt es selbst zu tun (wenn Sie mein Profil überprüfen, werden Sie feststellen, dass über 3100 Beiträge bearbeitet wurden - ich verstehe die allgemeinen Regeln für die Bearbeitung). Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich denke auch, dass ein wenig mehr Sorgfalt beim Ausdrücken, was gemeint ist, einen wesentlichen Teil der Anfängerfragen vor Ort lösen würde; und ich denke, Klarheit ist in einem Titel besonders wichtig.

Glen_b -State Monica

Antworten:

Sei und PDFs, die symmetrisch zu den Medianen bzw. sind. Solange und unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Differenz die Faltung von und , dh $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

Dabei ist einfach das PDF über mit dem Median $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Intuitiv würden wir erwarten, dass das Ergebnis symmetrisch zu ist. Versuchen wir das also. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

In der zweiten Zeile habe ich die Substitution im Integral verwendet. In der dritten Zeile habe ich sowohl die Symmetrie von um als auch von umDies beweist, dass symmetrisch zu wenn symmetrisch zu und symmetrisch zu $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Wenn und nicht unabhängig wären und und einfach Randverteilungen wären, müssten wir die gemeinsame VerteilungDann müssten wir im Integral durch ersetzenNur weil die Randverteilungen symmetrisch sind, bedeutet dies nicht, dass die gemeinsame Verteilung über jedes ihrer Argumente symmetrisch ist. Sie könnten also keine ähnliche Argumentation anwenden. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

Bridgeburners
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Dies hängt von der Beziehung zwischen und . Hier ist ein Gegenbeispiel, bei dem und symmetrisch sind, jedoch nicht: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Hier ist also der Median von nicht der gleiche wie der Unterschied in den Medianen und ist nicht symmetrisch. $x-y$ $x-y$

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Dies kann in der Notation von @ whuber klarer sein:

Betrachten Sie die diskrete Gleichverteilung, bei der und so zusammenhängen, dass Sie nur eines der folgenden Paare auswählen können: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Wenn Sie darauf bestehen, in einer vollständigen gemeinsamen Verteilung zu denken, betrachten Sie den Fall, in dem einen der Werte und die Werte annehmen kann und die Kombination kann jedes der 25 Paare annehmen. Die Wahrscheinlichkeit der oben angegebenen Paare beträgt jedoch jeweils 16%, und alle anderen möglichen Paare haben eine Wahrscheinlichkeit von jeweils 1%. Die Randverteilung von ist diskret einheitlich, wobei jeder Wert eine Wahrscheinlichkeit von 20% hat und daher symmetrisch zum Median von 0 ist. Gleiches gilt für . Nehmen Sie eine große Probe aus der gemeinsamen Verteilung und betrachten Sie nur oder nur $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ und Sie werden eine gleichmäßige Randverteilung (symmetrisch) sehen, aber nehmen Sie die Differenz und das Ergebnis wird nicht symmetrisch sein. $x-y$

Greg Snow
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Ich verstehe dieses Beispiel überhaupt nicht. Wenn gleich 4 sein kann und gleich 1 sein kann, sollte 3 sein können, aber Sie listen diese Möglichkeit nicht auf. Vielleicht verstehe ich Ihr Beispiel falsch; Was sind diese drei Vektoren?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

Amöbe

x

$x$ und sind in seinem Beispiel nicht unabhängig. Stellen Sie sich , und als Funktionen einer Zufallsvariablen die in jeden Vektor indiziert. Dann, wenn , , und

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

Moormanly

Wenn Sie und nicht unabhängig betrachten, sehen Sie wirklich als bivariate Zufallsvariable. Als solches demonstrieren Sie, dass symmetrische Ränder nicht bedeuten, dass die Gelenkverteilung symmetrisch ist. Das ist eine gute Beobachtung, aber die Notation in dieser Antwort ist verwirrend. Es könnte klarer sein, die Daten in einer bivariaten Notation zu beschreiben als .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

whuber

@amoeba, es hängt von der Beziehung zwischen und , ob sie unabhängig oder schwach abhängig sind, dann könnte es einen Fall geben, wie Sie sagen, aber mein Beispiel ist eine starke Abhängigkeit zwischen den beiden Variablen. Wenn X Höhe in Zoll und Y Höhe in Zentimetern wäre, wäre ein möglicher Wert und ist ein möglicher Wert, jedoch nicht gleichzeitig für dasselbe Objekt.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

Greg Snow

Die Kommentare und die Bearbeitung haben klargestellt, was Sie meinten. Vielen Dank.

Amöbe

Sie müssen die Unabhängigkeit zwischen X und Y annehmen, damit dies im Allgemeinen gilt. Das Ergebnis folgt direkt, da die Verteilung von eine Faltung symmetrischer Funktionen ist, die ebenfalls symmetrisch ist. $X-Y$

Moormanly
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