Die Summe der linearen Kombination des Produkts der Exponentiale ist exponentiell

Dieses Problem ist in meiner Forschung aufgetreten: Nehmen wir an, dass iid Exponentialverteilungen (ED) mit dem Mittelwert 1 sind und λ eine nichtnegative Zahl sei. Stimmt es, dass ∞ ∑ k = 0 λ k e - λ V 0 ⋯ V k ist$V_i \sim \text{ED}$$1$$\lambda$ Dies besteht die Überprüfung der geistigen Gesundheit, da der erwartete Wert beider Seiten gleich1ist und wenn wirλ=0 lassen, dann ist die linke Seite gleichV0, was exponentiell ist. Abgesehen davon bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses Problem angehen soll, da ich nicht weiß, wie ich mit dem Produkt von ED umgehen soll.

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ $1$$\lambda = 0$$V_0$

$K+1$$K$$\lambda$

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

qqplot$V_0$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ $k+1$ $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ $K$$\lambda$$K+1$ $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ $X$$M_X(t)$$Y=\log X$ $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ $X$$Y$$X$