Die Summe der linearen Kombination des Produkts der Exponentiale ist exponentiell

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Dieses Problem ist in meiner Forschung aufgetreten: Nehmen wir an, dass iid Exponentialverteilungen (ED) mit dem Mittelwert 1 sind und λ eine nichtnegative Zahl sei. Stimmt es, dass k = 0 λ k e - λ V 0V k ist ?ViED1λ Dies besteht die Überprüfung der geistigen Gesundheit, da der erwartete Wert beider Seiten gleich1ist und wenn wirλ=0 lassen, dann ist die linke Seite gleichV0, was exponentiell ist. Abgesehen davon bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses Problem angehen soll, da ich nicht weiß, wie ich mit dem Produkt von ED umgehen soll.

k=0λkeλV0Vkk!ED?
1λ=0V0
Alex
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Wie garantieren Sie, dass dies eine wahre Aussage ist?
Zhanxiong
@ Zhanxiong Ich bin nicht ganz sicher, ob es wahr ist, weshalb ich frage, ob jemand einen Beweis liefern kann (oder ihn widerlegen kann, wenn es falsch ist.)
Alex
ok, dann solltest du vermeiden, "beweise das" zu verwenden
Zhanxiong
Mein schlechtes, ich habe die Frage bearbeitet.
Alex
λ

Antworten:

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K+1Kλ

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

qqplotV0

M1(s)=EV0s=0xsexdx=Γ(s+1)
k+1
Mk+1(s)=Γ(s+1)k+1
KλK+1
M(s)=EMK+1(s)=EΓ(s+1)K+1=Γ(s+1)eλk=0λkk!Γ(s+1)k=eλΓ(s+1)eλΓ(s+1)
XMX(t)Y=logX
KY(t)=EetY=EetlogX=Eelog(Xt)=EXt=MX(y)
XYX
kjetil b halvorsen
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(+1) Auch das Produkt zweier Exponentiale hat keine geschlossene Formdichte.
Xi'an
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Es gab einen Beitrag in SE, der zeigte, dass ein Produkt aus drei Exponentialen keine Momente oder
ähnliches hat
1
Danke kjetil. Ich war mir ziemlich sicher, dass die Antwort auch nein war, aber das sind ziemlich gute Gründe dafür.
Alex
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k
1
V0Vk