Welche Verteilungsformen ergeben die „pythagoreische Erwartung“?

Sei und Y ∼ Dist ( θ Y ) unabhängige kontinuierliche Zufallsvariablen, die aus derselben nicht spezifizierten Verteilungsform erzeugt werden, aber unterschiedliche Parameterwerte berücksichtigen. Ich bin daran interessiert, eine parametrische Verteilungsform zu finden, für die die folgende Stichprobenwahrscheinlichkeit für alle zulässigen Parameterwerte gilt:$X \sim \text{Dist}(\theta_X)$$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Meine Frage: Kann mir jemand eine fortlaufende Verteilungsform nennen, für die dies gilt? Gibt es irgendwelche (nicht trivialen) Rahmenbedingungen, die dazu führen?

Meine vorläufigen Überlegungen: Wenn Sie beide Parameter mit einer Nicht-Null-Konstante multiplizieren, bleibt die Wahrscheinlichkeit unverändert. Daher ist es sinnvoll, dass eine Art Skalenparameter ist.$\theta$

Nehmen wir zwei exponentielle Zufallsvariablen ergibt P ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } und E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ Wenn nunX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ dann P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

Interessanter ist die Frage, ob dies der einzig mögliche Distributionsfall ist, für den es funktioniert. (Zum Beispiel ist dies das einzige Element der Gamma-Familie, für das es funktioniert.) Unter der Annahme einer Skalenfamilienstruktur, die für die zugrunde liegende Dichte notwendig und ausreichend ist$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Dies kann nach dem gleichen Ansatz wie in Xi'ans Antwort abgeleitet werden.

$\alpha=2$$X$$Y$. Wenn$X$ hat Skalenparameter $\theta_X$ und $Y$ hat Skalenparameter $\theta_Y,$ wir haben

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$