Wo sind die meisten Punkte in einer gleichmäßig verteilten hochdimensionalen Kugel?

Sollten sie nahe an der Mitte (Ursprung) sein oder ihre Oberfläche schließen?

Wie von @ Xi'an hervorgehoben, handelt es sich bei der Frage des OP tatsächlich um eine gleichmäßige Verteilung auf der dimensionalen Kugel mit dem Radius , die Menge der Punkte in einem Abstand von nicht mehr als von der Mitte der Kugel und nicht um eine Uniform Verteilung auf der dimensionalen Hypersphäre, die die Oberfläche des Balls ist (die Menge der Punkte im Abstand genau vom Zentrum). Es ist zu beachten, dass angenommen wird, dass die Gelenkdichte der Zufallsvariablen einen konstanten Wert wobei$n$$r$$r$$n$ $r$$n$$V^{-1}$$V$ist das Volumen des Balls. Dies ist nicht dasselbe wie die Annahme, dass der Abstand des Zufallspunkts für diejenigen, die die Oberfläche der Hypersphäre nicht einschließen möchten, gleichmäßig auf (oder verteilt ist).$[0,r]$$[0,r)$

Fast das gesamte Volumen eines $n$-dimensionale Kugel liegt nahe an der Oberfläche. Das ist weil$V$ ist proportional zum $n$-te Potenz des Radius der Kugel und $r^n$ist eine sehr schnell zunehmende Funktion. Selbst in$3$-Platz, $\frac 78 = 1 - \left(\frac 12\right)^3$Das Volumen liegt näher an der Oberfläche als am Ursprung, und dieser Anteil kommt immer näher $1$ wie $n$erhöht sich. Drehen Sie die Berechnung für einen festen Anteil um$\alpha$, sagen $\alpha=0.95$, $100\alpha\%$des Volumens liegt in einer Hülle mit Innenradius$\sqrt[n]{\alpha}r$ und Außenradius $r$ und so $1-\sqrt[n]{\alpha}$nimmt die relative Dicke der Schale in Richtung ab$0$ mit steigendem $n$ für jede Wahl von $\alpha \in (0,1)$.