Warum ist es uns wichtig, wenn ein MA-Prozess invertierbar ist?

Ich habe Probleme zu verstehen, warum es uns wichtig ist, ob ein MA-Prozess invertierbar ist oder nicht.

Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege, aber ich kann verstehen, warum es uns wichtig ist, ob ein AR-Prozess kausal ist oder nicht, dh wenn wir ihn sozusagen als die Summe einiger Parameter und weißen Rauschens "umschreiben" können. dh ein gleitender Durchschnittsprozess. In diesem Fall können wir leicht erkennen, dass der AR-Prozess kausal ist.

Ich habe jedoch Probleme zu verstehen, warum es uns wichtig ist, ob wir einen MA-Prozess als AR-Prozess darstellen können oder nicht, indem wir zeigen, dass er invertierbar ist. Ich verstehe nicht wirklich, warum es uns interessiert.

Jeder Einblick wäre toll.

Die Invertierbarkeit ist keine große Sache, da fast jedes Gaußsche, nicht invertierbare MA $(q)$ -Modell in ein invertierbares MA ( q ) -Modell geändert werden kann.$(q)$ durch Ändern der Parameterwerte -Modell das denselben Prozess darstellt. Dies wird in den meisten Lehrbüchern für das MA (1) -Modell erwähnt, ist aber allgemeiner.

Betrachten Sie als Beispiel das MA (2) -Modell

$$z_t = (1-0.2B)(1-2B)w_t, \tag{1}$$ wobei $w_t$ weißes Rauschen mit der Varianz $\sigma_w^2$ . Dies ist kein invertierbares Modell, da $\theta(B)$ innerhalb des Einheitskreises eine Wurzel von 0,5 hat. Man betrachte jedoch das alternative MA (2) -Modell, das durch Ändern dieser Wurzel auf ihren Kehrwert von 2 erhalten wird, so dass das Modell die Form z t = ( 1 - 0,2 annimmt $$z_t = (1-0.2B)(1-0.5 B)w_t' \tag{2}$$ wobei$w_t'$ die Varianz$\sigma_w'^2=4\sigma_w^2$ . Sie können leicht überprüfen, ob die Modelle (1) und (2) die gleichen Autokovarianzfunktionen haben und daher die gleiche Verteilung für die Daten angeben, wenn es sich um einen Gaußschen Prozess handelt.

Um das Modell so identifizierbar zu machen, dass es eine Eins-zu-Eins-Abbildung von $\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_q,\sigma_w^2$ auf die Verteilung der Daten gibt, ist der Parameterraum daher herkömmlicherweise auf den von invertierbar beschränkt Modelle. Diese spezielle Konvention wird bevorzugt, da das Modell dann direkt in AR $(\infty)$ -Form mit Koeffizienten $\pi_1,\pi_2,\dots$ die die einfache Differenzgleichung θ ( B ) π i erfüllen$\theta(B)\pi_i=0$ .

$(q)$$2^q$$q$

Sie können mit der obigen Technik immer Wurzeln von innerhalb nach außerhalb des Einheitskreises verschieben, mit einer entsprechenden Änderung der Varianz des weißen Rauschens, außer in Fällen, in denen das MA-Polynom genau eine oder mehrere Wurzeln auf dem Einheitskreis hat.

$X_t$

$$X_t = \theta(B)Z_t$$ $$\xi(B)X_t = Z_t$$ $\xi(B)$

Nach dem Titel in der Referenz im ersten Link zu urteilen, haben diese Autoren darüber noch viel mehr zu sagen. Leider kann ich keine Kopie dieses Buches / Papiers im Internet finden. Wenn jemand das findet, lass es mich wissen.