Warum ?

ich vermute das

$$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$$

ist richtig, wohingegen

$$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C)$$

ist falsch.

Ich habe jedoch eine "Intuition" für die spätere, dh Sie berücksichtigen die Wahrscheinlichkeit P (A | B), indem Sie zwei Fälle (C oder Not C) aufteilen. Warum ist diese Intuition falsch?

Angenommen, als einfaches Gegenbeispiel, dass die Wahrscheinlichkeit von ist , und zwar unabhängig von dem Wert von . Wenn wir dann die falsche Gleichung nehmen , erhalten wir:A 1 $P(A)$$A$$1$$C$

$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$

Das kann natürlich nicht richtig sein, ein kann wahrscheinlich nicht größer als . Dies hilft dabei, die Intuition zu entwickeln, dass Sie jedem der beiden Fälle eine Gewichtung zuweisen sollten, die proportional zu der Wahrscheinlichkeit dieses Falls ist , was zur ersten (richtigen) Gleichung führt. .$1$

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Das bringt Sie Ihrer ersten Gleichung näher, aber die Gewichte stimmen nicht ganz. Siehe A. Rex 'Kommentar für die korrekten Gewichte.

Dennis 'Antwort ist ein gutes Gegenbeispiel, das die falsche Gleichung widerlegt. Diese Antwort versucht zu erklären, warum die folgende Gleichung richtig ist:

$$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$$

Da jeder Term von abhängig ist , können wir den gesamten Wahrscheinlichkeitsraum durch B ersetzen und den B- Term fallen lassen. Das gibt uns:$B$$B$$B$

$$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$$

Dann fragen Sie sich, warum diese Gleichung die Terme und P ( ¬ C ) enthält .$P(C)$$P(\neg C)$

Der Grund ist, dass der Teil von A in C ist und P ( A | ¬ C ) P ( ¬ C ) der Teil von A in ¬ C ist und sich die beiden zu A addieren . Siehe Zeichnung. Andererseits ist P ( A | C ) der Anteil von C , der A und P ( $P(A|C) P(C)$$A$$C$$P(A|\neg C) P(\neg C)$$A$$\neg C$$A$$P(A|C)$$C$$A$ ist der Anteil von ¬ C , der A enthält - dies sind Anteile verschiedener Regionen, so dass sie keine gemeinsamen Nenner haben, so dass ihre Addition bedeutungslos ist.$P(A|\neg C)$$\neg C$$A$

Ich weiß, dass Sie bereits zwei großartige Antworten auf Ihre Frage erhalten haben, aber ich wollte nur darauf hinweisen, wie Sie die Idee hinter Ihrer Intuition in die richtige Gleichung umwandeln können.

Denken Sie zunächst daran, dass und äquivalentP(X≤Y)=P(X≤Y)P(Y).$P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$$P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$

Um Fehler zu vermeiden, werden wir die erste Gleichung im vorherigen Absatz verwenden, um alle bedingten Wahrscheinlichkeiten zu eliminieren, dann Ausdrücke, die Überschneidungen und Vereinigungen von Ereignissen beinhalten, weiter umschreiben und dann die Bedingungen am Ende mit der zweiten Gleichung im vorherigen Absatz wieder einführen . Wir beginnen also mit:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Wir werden die rechte Seite so lange umschreiben, bis wir die gewünschte Gleichung erhalten.

Die Fallarbeit in Ihrer Intuition erweitert das Ereignis zu ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ ¬ C ) , was zu P ( A ∣ B ) = P ( ( ( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ ¬ C ) ) ∩ B führt $A$$(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$$

Wie bei den Sätzen, wobei der Schnitt vertreibt über die Union:

$$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$$

Da sich die beiden Ereignisse im Zähler gegenseitig ausschließen (da und ¬ C nicht beide auftreten können), können wir die Summenregel verwenden: P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ∩ C $C$$\neg C$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$$

$P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$

$$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$$ $\neg C$

$P(A \mid B)$

$$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$$

$\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$$\neg C$

$$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$$

Welches ist die richtige Gleichung (wenn auch mit leicht unterschiedlicher Notation), einschließlich der Fix A. Rex darauf hingewiesen.

$P(A \cap C \mid B)$$P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$$P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$$B$$P(A \cap C)$$P(A \mid C)$$P(C)$

$P(\text{rain|March})$

$$\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}$$

$P(\text{rain|February or March})$

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$$

Das ist aber nicht gleich

$$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$$

Wenn Sie Probleme haben, das zu sehen, können Sie einige Zahlen ausprobieren. Angenommen, es gibt 10 Regentage im Februar und 8 im März. Dann haben wir

$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\%$$

und

$$\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}$$

$P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$$\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$

$$P(sunburnt | Spain)=0.2$$ $$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$$ $$P(sunburnt)=0.2$$ $B=\Omega$$P(B)=1$ $$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$$