Das Anzeigen von und ist unabhängig: Suche nach einer Lösung für dieses Lehrbuchproblem

In einer Einführung in verallgemeinerte lineare Modelle von Dobson und Barnett lautet die Übung 1.4b & c wie folgt:

Sei unabhängige Zufallsvariablen mit jeweils der Verteilung . Es sei und . ...$Y_1,...,Y_n$$N(\mu,\sigma^2)$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\overline{Y})^2$

b. Zeigen Sie, dass$S^2 = \frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\mu)^2-n(\overline{Y}-\mu)^2]$

c. Aus (b) folgt, dass . Wie können Sie daraus schließen, dass und S ^ 2 unabhängig sind?$\sum(Y_i-\mu)^2/\sigma^2 = (n-1)S^2/\sigma^2+[(\overline{Y}-\mu)^2n/\sigma^2]$ $\overline{Y}$ $S^2$

Mein Problem ist, dass ich nicht sehe, wie die Gleichung in c es mir ermöglicht, die Frage fett zu beantworten.

Ich bin mir bewusst, wie ich beweisen kann, dass die 2 im Allgemeinen unabhängig sind ( es wurde bereits gefragt ).

Wenn ich mir die Lösungen anschaue , sagen sie außerdem:

(c) und (d) ergeben sich aus den Ergebnissen auf S. 10

Auf Seite 10 wird die Reproduktionseigenschaft der Chi-Quadrat-Verteilung am ehesten verwendet. Dies ist keine Wenn-und-Nur-Wenn-Aussage, daher denke ich, dass sie hier nicht verwendet werden kann.

Meine Frage ist also, wie hilft die Gleichung in c), die Unabhängigkeit zu beweisen?

Ich bin mir nicht sicher, was die Autoren vorhaben, aber die naheliegendste Lösung, die ich mir vorstellen kann, um (c) zu verwenden, besteht darin, den Satz von Cochran anzuwenden . Haben Sie das behandelt oder vielleicht einen Sonderfall davon?

Hier ist der Beweis dafür:

Sei also und . Beachten Sie, dass Nun sagt uns (c) was wir als schreiben können und beide sind idempotent, so dass Cochrans Theorem uns schließen lässt, dass$Z_i = \frac{Y_i - \mu}{\sigma}$$Z_i \sim \mathcal N(0, 1)$$\bar Z \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$

$$\left(\frac{Y_i - \bar Y}{\sigma}\right)^2 = \left(\frac{Y_i - \mu}{\sigma} - \frac{\bar Y - \mu}{\sigma}\right)^2 = \left(Z_i - \bar Z\right)^2.$$ $$\sum_i Z_i^2 = \sum_i (Z_i - \bar Z)^2 + n\bar Z^2$$ $\newcommand{\one}{\mathbf 1}$ $$Z^T Z = Z^T \left(I - \frac 1n \one \one^T\right)Z + Z^T\left(\frac 1n \one \one^T\right) Z.$$ $I - \frac 1n \one \one^T + \frac 1n \one \one^T =I$$\sum_i (Y_i - \mu)^2 \perp n(\bar Y - \mu)^2$ und der Rest folgt.

$\square$

Könnte es das sein, was sie wollen?