Werden Wahrscheinlichkeiten bei der Funktionstransformation beibehalten?

Ich denke, das ist ein bisschen grundlegend, aber sagen wir, ich habe eine Zufallsvariable$X$ , ist die Wahrscheinlichkeitdie gleiche wiefür jede reelle stetige Funktion?$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Dies gilt nur, wenn $f$ monoton ansteigt. Wenn $f$ monoton abnimmt, ist $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ . Wenn zum Beispiel $f(x) = -x$ und X ein normaler Würfelwurf ist, dann ist $P(X \leq 5) = \frac56$ aber . Wennfzwischen Erhöhen und Verringern umschaltet, ist es noch komplizierter.$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Hinweis : Es gibt auch den trivialen Fall von , wobei P ( f ( X ) ≤ a ) gleich 1 ist, wenn ein ≥ 0 und 0 sonst.$f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Nr. Nehmen Sie Uniform auf [ - 1 , 1 ] und a = 0 . Dann Pr ( X < a ) = 1 / 2 . Andererseits ist Pr ( X 2 < a 2 ) = 0 .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Dies hängt mit der Frage zusammen:

ist für jedes f ( X ) ≤ f ( a ) ?$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

Es kann viele Möglichkeiten geben, zu verletzen, während X ≤ a ist . In allen Fällen muss f jedoch eine nicht monotone Funktion sein.$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$