MLE von

Sei eine Zufallsstichprobe aus einer Verteilung mit pdf $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}$

$$f(x;\alpha,\theta)=\frac{e^{-x/\theta}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}I_{(0,\infty)}(x ),\alpha,\theta>0$$

Finden Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für und . Sei$\alpha$$\theta$$\Psi(\alpha)=\frac{d\Gamma(\alpha)}{d\alpha}$

Mein Versuch,

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}(\alpha,\theta)&=&\prod_{i=1}^{n}f(x_i)\\ &=&\prod_{i=1}^{n}\frac{e^{-x_i/\theta}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x_i^{\alpha-1}\\ &=&\frac{1}{\Gamma^{n}(\alpha)\cdot \theta^{n \alpha}}(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\alpha-1}\exp(-\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\theta}) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \ell(\alpha,\theta)&=&-n\log(\Gamma(\alpha))-n\alpha\log(\theta)+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}x_i\\ \frac{\delta \ell(\alpha,\theta)}{\delta \theta}&=&-\frac{n\alpha}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^{n}x_i=0\\ \frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^{n}x_i&=&\frac{n\alpha}{\theta}\\ \hat{\theta}&=&\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n\alpha}\\ &=&\frac{1}{\alpha}\bar{x}\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{d \ell(\alpha,\hat{\theta})}{d\alpha}&=&\frac{-n \cdot \Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-n\log(\frac{1}{\alpha}\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)=0\\ &=&\frac{-n \cdot \Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+n\log(\alpha)-n\log(\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)=0\\ \log(\alpha)-\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}&=&\log(\bar{x})-\frac{\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)}{n} \end{eqnarray*}$$

Ich konnte nicht mehr fortfahren, um das $\alpha$ . Zweitens weiß ich nicht, wie man $\Psi(\alpha)=\frac{d\Gamma(\alpha)}{d\alpha}$ wie in der Frage angegeben. Hoffe jemand kann es mir erklären.

Danke im Voraus.

Lassen Sie also ist die Digammafunktion (ich verwende anstelle Ihres ).$\psi(\alpha) = \frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}$$\psi$$\psi$$\Psi$

Durch die AM-GM-Ungleichung also (wobei und sind fast sicher definiert). Darüber hinaus gilt die Gleichheit nur für was ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von , sodass fast sicher ist.

$$\bar x \geq \left(\prod_i x_i\right)^{1/n}$$ $$\log \bar x - \overline{\log x} \geq 0$$ $\log \bar x$$\log x_i$$x_1=\dots=x_n$$0$$\log \bar x - \overline{\log x} > 0$

Der Einfachheit halber nehme ich .$y = \log \bar x - \overline{\log x}$

Betrachten Sie on . Dies ist stetig und so dass durch den Zwischenwertsatz jede reelle Zahl in trifft . Dies bedeutet insbesondere, dass dh es gibt mindestens einen Punkt in , der , da .$f(\alpha) = \log(\alpha) - \psi(\alpha)$$(0,\infty)$

$$\lim_{\alpha\to 0} f(\alpha) = \infty$$ $$\lim_{\alpha\to\infty} f(\alpha) = 0$$ $f$$(0,\infty)$ $$f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right) \neq \emptyset$$ $(0,\infty)$$y$$y > 0$

Darüber hinaus stellt sich heraus, dass auf als injektiv ist so dass es tatsächlich ein eindeutiges mit .$f$$(0,\infty)$$f' < 0$$\hat \alpha$$f(\hat\alpha) = y$

Um dieses finden, sind jedoch numerische Methoden erforderlich, wie @StubbornAtom sagt.$\hat \alpha$