Grenzen der Differenz korrelierter Zufallsvariablen

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Bei zwei stark korrelierten Zufallsvariablen und möchte ich die Wahrscheinlichkeit begrenzen, dass die Differenzüberschreitet einen bestimmten Betrag: XY|XY|

P(|XY|>K)<δ

Nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass:

  • Es ist bekannt, dass der Korrelationskoeffizient "hoch" ist, beispielsweise: ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY1ϵ

  • X,Y sind :μx=μy=0

  • 1xi,yi1 (oder wenn das einfacher ist)0xi,yi1

  • (Wenn es die Sache einfacher macht, sagen wir, haben identische Varianz: )σ 2 X = σ 2 Y.X,YσX2=σY2

Ich bin mir nicht sicher, wie machbar es ist, eine Grenze für den Unterschied abzuleiten, wenn nur die obigen Informationen gegeben sind (ich konnte sicherlich nirgendwo hinkommen). Eine spezifische Lösung (falls vorhanden), obligatorische zusätzliche Beschränkungen für die Ausschüttungen oder nur Ratschläge zu einem Ansatz wären großartig.

Avanti89
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Antworten:

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Auch ohne diese vereinfachenden Annahmen kann eine Grenze erhalten werden, indem einige übliche Werkzeuge kombiniert werden:

Im Detail:

σXY2=σX2+σY22·cov(X,Y)

cov(X,Y)=σX·σY·ρXY

σXY2=σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y

Nach Chebyshevs Ungleichung gilt für jede Zufallsvariable :Z

Pr(|Zμ|kσ)1k2

Dann (und unter Verwendung von :μXY=μXμY)

Pr(|XYμX+μY|k·σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y)1k2

Wir können die vorgeschlagenen vereinfachenden Annahmen verwenden, um einen einfacheren Ausdruck zu erhalten. Wann:

μ x = μ y = 0

ρX,Y=covar(X,Y)/σXσY=1ϵ
μx=μy=0
σX2=σY2=σ2

Dann:

σX2+σY22·σX·σY·ρX,Y=2·σ2·(1(1ϵ))=2σ2ϵ

Und deshalb:

Pr(|XY|k·σ2ϵ)1k2

Interessanterweise gilt dieses Ergebnis auch dann, wenn nicht klein ist und sich die Bedingung für die Korrelation von zu ändert, ändert sich das Ergebnis nicht (da es bereits eine Ungleichung ist).= 1 - ϵ 1 - ϵϵ=1ϵ1ϵ

Pere
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