Nicht informative vorherige Dichte auf normal

Die Bayesianische Datenanalyse (S. 64) sagt zu einem normalen Modell :

Eine vernünftige vage vorherige Dichte für und unter der Annahme einer vorherigen Unabhängigkeit von Orts- und Skalenparametern ist einheitlich für oder äquivalent für$\mu$$\sigma$$(\mu, \log \sigma)$

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Warum ist Uniform über gleichbedeutend mit ?$p(\mu, \log \sigma)$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$

Warum ist das ein "vernünftiger" Prior?

Sei $\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$$\sigma^2 = \exp (2\phi)$

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Da die Parameter in diesem Prior unabhängig sind, haben wir dann:

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

$\mu$$\log \sigma$

Für die obige Ableitung haben wir vor dem logarithmischen Varianzparameter eine falsche Uniform verwendet. Es ist möglich, dasselbe Ergebnis in einem einschränkenden Sinne zu erhalten, indem ein geeigneter Prior für die logarithmische Skala verwendet wird, die zur Gleichförmigkeit tendiert, und der richtige Prior für die Varianz gefunden wird, die dieser entspricht, und dann die Grenze genommen wird, um die Gegenwart zu erhalten falsche Abweichung vor. Dies ist wirklich nur ein Spiegelbild der Tatsache, dass unangemessene Prioritäten im Allgemeinen als Grenzen der richtigen Prioritäten interpretiert werden können.

Es gibt viele andere mögliche Rechtfertigungen für diesen unangemessenen Prior, und diese appellieren an die Theorie, frühere "Unwissenheit" darzustellen. Es gibt eine große Literatur zu diesem Thema, aber eine kürzere Diskussion findet sich in Irony und Singpurwalla (1997) (Diskussion mit José Bernardo), die über die verschiedenen Methoden spricht, mit denen wir versuchen, "Ignoranz" darzustellen. Der unzulässige Prior, mit dem Sie sich hier befassen, ist die einschränkende Version des konjugierten Prior für das normale Modell, wobei die vorherige Varianz für jeden Parameter auf unendlich gesetzt wird.