Schreiben von AR (1) als MA (

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Der AR (1) -Prozess ist

Xt=ϕXt1+εt

Wenn wir diese Formel rekursiv verwenden, erhalten wir

Xt=ϕ(ϕXt2+εt1)+εt=ϕ2Xt2+ϕεt1+εt==ϕkXtk+j=0kϕjεtj

Wenn wir lassen k, wir bekommen

Xt=limk(ϕkXtk+j=0kϕjεtj)=limk(ϕkXtk)+j=0ϕjεtj
Die Dualität zwischen AR (1) und MA ( ) besagt, dass es eine Äquivalenz zwischen den beiden gibt und dass wir Xt als schreiben können

Xt=j=0ϕjεtj

Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen ist der Begriff limk(ϕkXtk) , der Null sein sollte, aber wie zeige ich das?

Angenommen, |ϕ|<1 , wir haben das limkϕk=0 natürlich, aber ich verstehe nicht, warum limkXtk< ? Nimmt Konvergenz das Gesetz der großen Zahlen an, oder gibt es eine andere Möglichkeit, Äquivalenz zu zeigen?


Ich weiß, dass es einen Beweis gibt, der den Verzögerungsoperator 1-B invertiert 1B, aber ich habe keine Rechtfertigung dafür gefunden, warum der Operator überhaupt invertiert werden kann, deshalb wollte ich einen alternativen Beweis wie den oben genannten.

Frank Vel
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Es gibt einige Probleme mit Ihren Indizes - Summierungen sollten bei und dann und nicht . j=0ϵtjϵtk
Christoph Hanck

Antworten:

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Der übliche Sinn, in dem Konvergenz in diesem Fall verstanden wird, ist im mittleren Quadrat :

E[Yt(ϵt+ϕϵt1+ϕ2ϵt2++ϕjϵtj)]2=ϕ2(j+1)E[Ytj1]2
Wenn stationär ist Daher Yt
E[Ytj1]2=γ0+μ2
limjE[Yt(ϵt+ϕϵt1+ϕ2ϵt2++ϕjϵtj)]2=0
Christoph Hanck
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Wir würden also das schwache Gesetz großer Zahlen verwenden, dh ? limjE(ϕjXtj)2=0
Frank Vel
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Die WLLN bezieht sich normalerweise auf die Stichprobengröße bis unendlich, während in dieser Situation die Anzahl der Verzögerungen bis unendlich geht. Ich habe es eher so gelesen, dass der Mittelwert der quadratischen Differenz verschwindet.
Christoph Hanck
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Sie sind zu Recht misstrauisch gegenüber diesem Schritt, und ohne weitere Annahmen zur Begrenzung der Größe von können Sie das erforderliche Formular nicht erhalten. Denken Sie daran, dass die rekursive Gleichung für das AR-Modell nicht ausreicht, um die gemeinsame Verteilung des Prozesses zu erhalten. (Sie müssen eine Verteilung für den Fehlerprozess festlegen, und selbst dann müssen Sie entweder Stationarität festlegen oder eine anfängliche Verteilung angeben, die zu einem instationären Modell führt.) Wenn Sie nur diese rekursive Gleichung haben, gibt es keinen Grund dafür Die Zeitreihenwerte konnten nicht zu großen Werten wie explodieren .Xt

Zum Beispiel erfüllt der deterministische instationäre AR-Prozess die von Ihnen angegebene rekursive Gleichung (mit null Fehlern), und in diesem Fall haben Sie . In diesem Modell haben Sie für jede auch:Xt=ϕtlimkXtk=ϕ0

ϕkXtk=ϕkϕtk=ϕt0.

Da die Fehler in diesem deterministischen Modell Null sind, erhalten Sie das begrenzende Ergebnis:

Xt=k=0ϕkεtk0+limkϕkXtkϕt.

In diesem Fall ist der begrenzende Term eindeutig ungleich Null und kann nicht aus dem Ergebnis entfernt werden. Wenn Sie diesen letzten Begriff entfernen möchten, müssen Sie Ihrem Modell weitere Annahmen hinzufügen (z. B. Stationarität).

Ben - Monica wieder einsetzen
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