Schreiben von AR (1) als MA (

Der AR (1) -Prozess ist

$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$

Wenn wir diese Formel rekursiv verwenden, erhalten wir

$$X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

Wenn wir lassen $k\to\infty$, wir bekommen

$$X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$ Die Dualität zwischen AR (1) und MA ( $\infty$ ) besagt, dass es eine Äquivalenz zwischen den beiden gibt und dass wir $X_t$ als schreiben können

$$X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

Der Unterschied zwischen den beiden Ergebnissen ist der Begriff $\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$ , der Null sein sollte, aber wie zeige ich das?

Angenommen, $|\phi| < 1$ , wir haben das $\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$ natürlich, aber ich verstehe nicht, warum $\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$ ? Nimmt Konvergenz das Gesetz der großen Zahlen an, oder gibt es eine andere Möglichkeit, Äquivalenz zu zeigen?

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Ich weiß, dass es einen Beweis gibt, der den Verzögerungsoperator 1-B invertiert $1-B$, aber ich habe keine Rechtfertigung dafür gefunden, warum der Operator überhaupt invertiert werden kann, deshalb wollte ich einen alternativen Beweis wie den oben genannten.

Der übliche Sinn, in dem Konvergenz in diesem Fall verstanden wird, ist im mittleren Quadrat :

$$E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=\phi^{2(j+1)} E[Y_{t-j-1}]^2$$ Wenn stationär ist Daher $Y_t$ $$E[Y_{t-j-1}]^2=\gamma_0+\mu^2$$ $$\lim_{j\to\infty}E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=0$$

Sie sind zu Recht misstrauisch gegenüber diesem Schritt, und ohne weitere Annahmen zur Begrenzung der Größe von können Sie das erforderliche Formular nicht erhalten. Denken Sie daran, dass die rekursive Gleichung für das AR-Modell nicht ausreicht, um die gemeinsame Verteilung des Prozesses zu erhalten. (Sie müssen eine Verteilung für den Fehlerprozess festlegen, und selbst dann müssen Sie entweder Stationarität festlegen oder eine anfängliche Verteilung angeben, die zu einem instationären Modell führt.) Wenn Sie nur diese rekursive Gleichung haben, gibt es keinen Grund dafür Die Zeitreihenwerte konnten nicht zu großen Werten wie explodieren .$X_{-\infty}$$t \rightarrow -\infty$

Zum Beispiel erfüllt der deterministische instationäre AR-Prozess die von Ihnen angegebene rekursive Gleichung (mit null Fehlern), und in diesem Fall haben Sie . In diesem Modell haben Sie für jede auch:$X_t = \phi^t$$\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$$\phi \neq 0$

$$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$$

Da die Fehler in diesem deterministischen Modell Null sind, erhalten Sie das begrenzende Ergebnis:

$$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$$

In diesem Fall ist der begrenzende Term eindeutig ungleich Null und kann nicht aus dem Ergebnis entfernt werden. Wenn Sie diesen letzten Begriff entfernen möchten, müssen Sie Ihrem Modell weitere Annahmen hinzufügen (z. B. Stationarität).