Statistische Probleme mit Konfidenzintervallen für einen Populationsmittelwert können anhand der folgenden Gewichtungsfunktion dargestellt werden :

$$w(\alpha, n) \equiv \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n}} \quad \quad \quad \quad \text{for } 0<\alpha<1 \text{ and } n > 1.$$

Zum Beispiel kann das Standard- Konfidenzintervall der klassischen Ebene für den Mittelwert einer unendlichen Superpopulation wie folgt geschrieben werden:$1-\alpha$

$$\text{CI}(1-\alpha) = \Bigg[ \bar{x}_n \pm w(\alpha, n) \cdot s_n \Bigg].$$

Es ist trivial, die Grenzen und \ lim _ {\ alpha \ uparrow 1} w (\ alpha, n) = 0 unter Verwendung der Quantilfunktion von festzulegen die T-Verteilung. Im Zusammenhang mit Konfidenzintervallen zeigt dies, dass das Intervall mit abnehmendem Konfidenzniveau auf einen einzelnen Punkt schrumpft und mit zunehmendem Konfidenzniveau auf die gesamte reale Linie ansteigt. Eine weitere intuitive Eigenschaft, die gelten sollte, ist, dass das Intervall auf einen einzelnen Punkt verkleinert wird, wenn wir mehr und mehr Daten erhalten. Dies bedeutet:$\lim_{\alpha \downarrow 0} w(\alpha, n) = \infty$$\lim_{\alpha \uparrow 1} w(\alpha, n) = 0$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} w(\alpha, n) = 0.$$

Frage: Bitte legen Sie einen Beweis für diese letztere Eigenschaft der Gewichtungsfunktion vor.

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Weitere Informationen: Für alle mathematischen Leser, die mit den kritischen Punkten der T-Verteilung nicht vertraut sind , ist der Wert eine Funktion von die durch die implizite Gleichung definiert wird:$t_{n-1, \alpha/2}$$n$

$$\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr.$$

Beweis mit Chebyshevs Ungleichung

Hier ist ein Beweis unter Verwendung der Chebyshevschen Ungleichung .$Pr(|T|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$

Wenn wir ausfüllen und dann haben wir ein Limit$\sigma_{t_\nu} = \frac{\nu}{\nu-2}$$1/k^2=\alpha = Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$

$$Pr\left(|T|\geq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\right) \leq Pr\left(|T|\geq t_{\nu,\alpha/2}\right)$$

somit wird oben durch begrenzt$t_{\nu,\alpha/2}$

$$t_{\nu,\alpha/2} \leq \frac{\nu}{\nu-2}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

Hinzufügen der offensichtlichen Untergrenze und Teilen durch$\sqrt{\nu+1}$

$$0 \leq \frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{\nu+1}} \leq \frac{\nu}{\sqrt{\nu+1}\left(\nu-2\right)}\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$$

was für auf Null drückt n→$t_{n-1,\alpha/2} / \sqrt{n}$$n \to \infty$

Ich bin mir sicher, dass es einen einfacheren Weg gibt, dies zu tun, aber das Ergebnis ergibt sich unmittelbar aus dem Folgenden:

Satz: Sei eine kontinuierliche Verteilungsfunktion und eine Folge von Verteilungsfunktionen, so dass schwach (dh in der Verteilung) ist. Dann ist gleichmäßig in .F n F n → F F n ( x ) → F ( x ) $F$$F_n$$F_n \to F$$F_n(x) \to F(x)$$x$

Beweis: Unter Verwendung von Kontinuität und Monotonie können wir für jede natürliche Zahl so auswählen dass (unter und ). Durch schwache Konvergenz und die Tatsache, dass stetig ist, wird . Suchen Sie für jedes ein Intervall das und beachten Sie, dass . Daher und weilx 0 , x 1 , ... , x m F ( x j ) = j / m x 0 = - ∞ x m = ∞ F F n ( x j ) → F ( x j ) y [ x j - 1 , x j ] y | F n ( y ) - $m$$x_0, x_1, \ldots, x_m$$F(x_j) = j/m$$x_0 = -\infty$$x_m = \infty$$F$$F_n(x_j) \to F(x_j)$$y$$[x_{j-1}, x_{j}]$$y$¯ lim n→∞supy| Fn(y)-F(y)| ≤$|F_n(y) - F(y)| \le \sup_j |F_n(x_j) - F(x_j)| + |F(x_j) - F(x_{j-1})| \to \frac{1}{m}$ msupy| Fn(y)-F(y)| →$\varlimsup_{n \to \infty} \sup_y |F_n(y) - F(y)| \le \frac 1 m$$m$war willkürlich wir bekommen .$\sup_y |F_n(y) - F(y)| \to 0$

Als nächstes ist es eine bekannte Anwendung des Slutsky-Theorems, dass das in der Verteilung zu einer Standardnormalverteilung konvergiert. Das vorherige Ergebnis impliziert, dass , dh . Wenn wir die normale Quantilfunktion auf beide Seiten , erhalten wir . F n ( t n - 1 , α ) - F ( t n - 1 , α ) → 0 F ( t n - 1 , α ) → α t n - 1 , α → z $t_{n-1}$$F_n(t_{n-1,\alpha}) - F(t_{n-1,\alpha}) \to 0$$F(t_{n-1,\alpha}) \to \alpha$$t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$

Daher impliziert für jedes (insbesondere ).t n - 1 , $t_{n-1,\alpha} \to z_{\alpha}$g(n)→∞g(n)=$\frac{t_{n-1,\alpha}}{g(n)} \to 0$$g(n) \to \infty$$g(n) = \sqrt n$

Geometrischer Beweis

Geometrische Ansicht

Betrachten Sie die beobachtete Probe als einen Punkt im n-dimensionalen euklidischen Raum und die Schätzung des Mittelwerts als Projektion einer Beobachtung auf die Modelllinie .x 1 = x 2 = . . . = x n = ˉ $x_1,x_2,...,x_n$$x_1=x_2= ... = x_n = \bar{x}$

Der t-Score kann als Verhältnis zweier Abstände in diesem Raum ausgedrückt werden

• Der Abstand zwischen dem projizierten Punkt und der Grundgesamtheit bedeutet $$\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)$$
• der Abstand zwischen diesem Punkt und der Beobachtung $$\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}$$

Dies hängt mit der Tangente des Winkels zwischen der Beobachtung und der Linie zusammen, auf die sie projiziert wird.

$$\frac{t}{\sqrt{n-1} } =\frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(\hat{x}-x_i)^2}} = \frac{1}{\tan{\theta}}$$

Äquivalenz-t-Verteilung und Winkelverteilung

In dieser geometrischen Ansicht entspricht die Wahrscheinlichkeit, dass der t-Score höher als ein Wert ist, der Wahrscheinlichkeit, dass der Winkel kleiner als ein Wert ist:

$$Pr(|T|>t_{n-1,\alpha/2}) = 2 Pr(\theta \leq \theta_{\nu,\alpha}) = \alpha$$

Oder

$$\frac{t_{n-1,\alpha/2}}{\sqrt{n-1}} = \frac{1}{\tan \theta_{\nu,\alpha}}$$

Man könnte sagen, dass sich der t-Score auf den Beobachtungswinkel mit der Linie des theoretischen Modells bezieht. Für Punkte außerhalb des Konfidenzintervalls (dann ist weiter von und der Winkel ist kleiner) liegt der Winkel unter einer bestimmten Grenze . Diese Grenze wird sich mit weiteren Beobachtungen ändern. Wenn die Grenze dieses Winkels für großes auf 90 Grad geht (die Kegelform wird flacher, dh weniger spitz und lang), bedeutet dies, dass die Größe des Konfidenzintervalls kleiner wird und sich nähert Null.ˉ x θ ν , α θ ν , α$\mu$$\bar{x}$$\theta_{\nu,\alpha}$$\theta_{\nu,\alpha}$$n$

Winkelverteilung als relative Fläche der Kappe einer n-Kugel

Aufgrund der Symmetrie der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung unabhängiger normalverteilter Variablen ist jede Richtung gleich wahrscheinlich und die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Winkel innerhalb eines bestimmten Bereichs befindet, ist gleich der relativen Fläche der Kappe einer n-Kugel.

Die relative Fläche dieser n-Kappe wird durch Integrieren der Fläche eines n-Kegelstumpfes ermittelt :

$$\begin{array}{rcl} 2 Pr(\theta \leq \theta_c)& =& 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{(1-x^2)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dx \\ &=& \int_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt \\ &=& I_{\frac{1}{{1+\tan(\theta_c)^2}}}\left(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2} \right) \end{array}$$

Dabei ist die obere regulierte unvollständige Beta-Funktion.$I_x(\cdot,\cdot)$

Winkelgrenze

Wenn bis 90 Grad für geht dann auf Null geht.$\theta_{n,\alpha}$$n \to \infty$$t_{n-1,\alpha/2}/\sqrt{n}$

Oder eine umgekehrte Aussage: Für jeden Winkel, der kleiner als 90 Grad ist, nimmt die relative Fläche dieses Winkels auf einer n-Kugel auf Null ab, wenn gegen unendlich geht.$n$

Intuitiv bedeutet dies, dass sich alle Bereiche einer n-Kugel auf den Äquator konzentrieren, wenn die Dimension auf unendlich ansteigt.$n$

Quantitativ können wir dies mit dem Ausdruck zeigen

$$\int_{a}^1 \frac{t^{-0.5}(1-t)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt < \int_{a}^1 \frac{(1-a)^{\frac{n-3}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} dt = \frac{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}}{B(\frac{1}{2},\frac{n-1}{2})} = L(n)$$

und betrachte den Unterschied zwischen und .$L(n+2)$$L(n)$

Irgendwann ist die Abnahme des Nenners wird durch die Verringerung des Zählers übernommen und die Funktion nimmt für bis unendlich auf Null ab .

$$\frac{B(\frac{1}{2},x+1)}{B(\frac{1}{2},x)} = \frac{x}{x+\frac{1}{2}}$$ $$\frac{(1-a)^{\frac{n+1}{2}}}{(1-a)^{\frac{n-1}{2}}} = 1-a$$ $L(n)$$n$

Wir haben

$$\begin{align} \frac{\alpha}{2} &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{(n-1) \pi}} \cdot \frac{\Gamma(\tfrac{n}{2})}{\Gamma(\tfrac{n-1}{2})} \Big( 1+ \frac{r^2}{n-1} \Big)^{-n/2} dr \\[10pt] &= \int \limits_{t_{n-1, \alpha/2}}^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}r^2} dr \\[10pt] &= 1-\Phi(t_{n-1, \alpha/2}) \\[10pt] &\approx 1-\left[\frac{1}{2}+\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) \right] \end{align}$$

was bedeutet , dass der zweite Term in den Klammern geschachtelt höchstens sein kann , da die maximale werden kann , ist . Beachten Sie, dass das PDF der Normalverteilung ist. Diese Annäherung wird auch auf der Grundlage dieser .$\frac{1}{2}$$\alpha$$1$$\varphi(x)$

Also

$$0 < \alpha \approx 1+2\varphi(t_{n-1, \alpha/2}) \left(t_{n-1, \alpha/2}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^3}{3}+\frac{(t_{n-1, \alpha/2})^5}{15} + \dots \right) <1$$