Wie heißt die Verteilungsfamilie mit PDF proportional zu ?

Betrachten Sie eine Familie von Verteilungen mit PDF (bis zu einer Proportionalitätskonstante), die durch Wie heißt es? Wenn es keinen Namen hat, wie würden Sie es nennen?

$$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$$

Es sieht der Familie der Verteilungen mit PDF, das proportional zu ziemlich ähnlichp ( x ) ≤ $t$

$$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$$

Wenn , haben wir eine Verteilung mit 1 df, auch bekannt als Cauchy-Verteilung. Wenn oder , erhalten wir die Gaußsche Verteilung.t α → 0 ν → $\alpha=\nu=1$$t$$\alpha\to 0$$\nu\to\infty$

Diese Familie von Verteilungen erscheint in Yang et al., Heavy-Tailed Symmetric Stochastic Neighbor Embedding, NIPS 2009 , aber sie verwenden keinen Namen, um darauf zu verweisen.

Es ist einfach eine bestimmte skalierte Verteilung - eine Verteilung mit einer anderen Varianz als die Standard- Verteilung.t $t$$t$$t$

Sei . Sei .$\nu = \frac{2}{\alpha}-1$$\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$

Dann (wenn ich es richtig gemacht habe) ist ein Standard mit df$Y=X/\sigma$$t$$\nu$

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So ging meine Argumentation:

$$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ ist eine Standard- Dichte.$t$

Wir erhalten die Skalenfamilie, indem wir . In diesem Fall ist ist ein skaliertes -Dichte.$X/\sigma=Y$

$$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ $t$

Setzen Sie einfach die Koeffizienten in Ihrer Dichte damit gleich und lösen Sie nach und .$\nu$$\sigma$

Das Erkennen, dass ein Skalierungsparameter alles aufnimmt, was in nicht "richtig" ist (vorausgesetzt, ist bereits durch Gleichsetzen von Potenzen definiert), war alles, was benötigt wurde, um zu sehen, dass es skaliert ; Algebra war nicht erforderlich, bis es Zeit wurde, die Parameter des tatsächlich zu finden .$\alpha x^2$$\nu$$t$$t$

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[Schlussbemerkung: Falls es nicht offensichtlich ist, dass eine Skalenfamilie die Form , nehmen Sie die Wahrscheinlichkeit Anweisung (unter Hinweis darauf, dass das Ereignis mit dem Ereignis identisch ist ) und differenzieren.]$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$$F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$$X/\sigma\leq t$$Y\leq t$