Warum ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer kontinuierlichen Gleichverteilung nicht unendlich?

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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer gleichmäßigen Verteilung (kontinuierlich) ist oben gezeigt. Die Fläche unter der Kurve ist 1 - was sinnvoll ist, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 1 ist.

Formal kann die obige Wahrscheinlichkeitsfunktion (f (x)) definiert werden als

1 / (ba) für x in [a, b]

und sonst 0

Bedenken Sie, dass ich eine reelle Zahl zwischen a (sagen wir 2) und b (sagen wir 6) wählen muss. Dies ergibt die einheitliche Wahrscheinlichkeit = 0,25. Sollte sich die Summe aller Wahrscheinlichkeiten nicht zu unendlich summieren, da es in diesem Intervall unendlich viele Zahlen gibt? Was übersehe ich?

Ist f (x) nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl x auftritt?

probability distributions uniform rahs
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auch: math.stackexchange.com/questions/2885278/… ; stats.stackexchange.com/questions/199280/…

Ben Bolker

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ist nicht eine Wahrscheinlichkeitsfunktion-es ist eineWahrscheinlichkeitsdichtefunktion . Das heißt, Sie erhalten nicht die Wahrscheinlichkeit, dass

eine bestimmte Zahl ist, sondern die Wahrscheinlichkeitsdichte oder die Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit entlang der x-Achse. Sie verwenden dieIntegration, um die Gesamtwahrscheinlichkeit für diese Art von Funktion zu ermitteln - nicht die Summierung.

f (x)

$f(x)$

x

$x$

HelloGoodbye

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beschreibtin Ihrem BeispieleherdieWahrscheinlichkeitsdichteals eineWahrscheinlichkeitsmasse. Im Allgemeinen wird fürkontinuierliche VerteilungenderEreignisse-die Dingewir Wahrscheinlichkeiten erhalten für-sindBereichevon Werten, wiefür die Fläche unter der Kurve von zu oder von bis (obwohl diese Bereiche nicht zusammenhängend sein müssen ). Bei kontinuierlichen Verteilungen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Wert auftritt, im Allgemeinen 0. $f(x)$ $a$ $a+.1$ $a$ $b$

Alexis
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Gibt es eine technisch genauere Möglichkeit zu sagen, was Sie sagen möchten? Ich mache mir Sorgen, dass die "Reichweite" die Leute

abschrecken

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@Mehrdad: Das Dirac-Delta hat keine kontinuierliche Verteilung. Der richtige Weg Wahrscheinlichkeiten Zuordnung über wäre

.

P (A) = \int_{A} 1 d F

$P(A) = \int_A 1dF$

Alex R.

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@AlexR.: Oof, ich habe mit "kontinuierlicher Verteilung" angenommen, dass Sie nur eine Verteilung über eine kontinuierliche Domäne gemeint haben, da sich die Leute darauf beziehen, wenn sie sagen, dass das Dirac-Delta das kontinuierliche Analogon des Kronecker-Deltas ist. Danke fürs klarstellen.

user541686

@Mehrdad Ich habe genau an Diracs Delta gedacht, aber ich hoffe, Sie werden den Begriff "allgemein" und auch den offensichtlichen Grad der statistischen Kompetenz des OP bemerken.

Alexis

@Mehrdad Die technische Formulierung einer Zufallsvariablen erfolgt in Form eines Maßes: Es gibt eine Funktion vom Potenzsatz des Ereignisraums bis zum Intervall [0,1]. Eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann als Maß verwendet werden (das Maß einer Menge ist einfach das Integral des PDF über dieser Menge), es gibt jedoch Maße wie das Dirac-Delta (eine Menge hat Maß 1, wenn sie

enthält) . und ist sonst Null), die streng genommen nicht im traditionellen Sinne funktionieren.

x_{0}

$x_0$

Akkumulation

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Weil jeder Term in der Summation mit dem infinitesimalen d gewichtet wird . Die Wichtigkeit davon wird wahrscheinlich am einfachsten verstanden, wenn man ein sehr einfaches Beispiel sorgfältig durchgeht. $x$

rechteckiger Bereich $A_i$

A_{1} = A_{2} = 5 \times 2 = 10

$A_1=A_2=5\times 2 = 10$

B_{i}

$B_i$

B_{1} = B_{2} = B_{3} = B_{4} = 5 \times 1 = 5

$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$

\sum_{i = 1}^{2} A_{i} = \sum_{i = 1}^{4} B_{i} = 20

$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$

0.5

$0.5$

x

$x$

\infty

$\infty$

$\int$ $\int \text dx$

Zxv
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$\frac{1}{\infty} = 0$

$f(x) = 1$ $x \in \left[0, 1\right]$ $f(x) = 0$ $0.2$ $0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

Das heißt, Sie haben eine 10% ige Chance, ein Ergebnis in diesem Bereich zu erzielen.

^[1] Entschuldigen Sie alle Menschen, die einen Herzinfarkt haben, weil ich die Berechnung zu stark vereinfacht habe.

Bauernfänger
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Im Allgemeinen scheitert Ihre Argumentation an dieser Annahme:

Sollte sich die Summe aller Wahrscheinlichkeiten nicht zu unendlich summieren, da es in diesem Intervall unendlich viele Zahlen gibt?

Es ist ein mathematisches Problem, das seit dem Zeno von Elea Paradoxes bekannt ist .

Zwei seiner Behauptungen waren das

Ein Pfeil kann niemals sein Ziel erreichen
Achilles wird niemals eine Schildkröte überholen

Beide basierten auf der Behauptung, dass man eine unendliche Folge positiver Zahlen bilden kann (im ersten Fall, indem man sagt, dass ein Pfeil unendlich oft die Hälfte des verbleibenden Weges zum Ziel fliegen muss, im zweiten Fall, indem man sagt, dass Achilles hat um die Position zu erreichen, an der sich die Schildkröte zuvor befand, und in der Zwischenzeit bewegt sich die Schildkröte an eine neue Position, die unser nächster Referenzbasispunkt wird.

Dies führte zu einer Entdeckung von unendlichen Summen.

Im Allgemeinen muss die Summe der unendlichen vielen positiven Zahlen nicht unbedingt unendlich sein . Es kann jedoch nicht nur dann unendlich sein, wenn (eine extreme Vereinfachung, tut mir leid) fast alle Zahlen in der Sequenz sehr nahe bei 0 liegen, unabhängig davon, wie nahe Sie bei Null liegen.

Infinity spielt noch mehr Streiche. Die Reihenfolge, in der Sie Elemente der Sequenz hinzufügen, ist ebenfalls wichtig und kann dazu führen, dass eine Neuordnung zu unterschiedlichen Ergebnissen führt!

Erfahren Sie mehr über Paradoxe der Unendlichkeit . Sie könnten erstaunt sein.

Ister
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Ich sehe keine Möglichkeit, die Frage so zu interpretieren, dass OP an zählbare Summen denkt.

JiK

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$f(x)$ $\frac{p}{x}$ $f(x) = \frac{1}{b-a}$ $\frac{p}{x}$

Hoffe das macht Sinn.

user3719750
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Warum ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer kontinuierlichen Gleichverteilung nicht unendlich?

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