Verteilung der Exponentialsumme

Sei $X_1$ und $X_2$ unabhängige und identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit der Rate $\lambda$ . Sei $S_2 = X_1 + X_2$ .

F: Zeigen Sie, dass $S_2$ PDF hat. $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x},\, x\ge 0$ .

Es ist zu beachten, dass, wenn Ereignisse gemäß einem Poisson-Prozess (PP) mit der Rate $\lambda$ auftraten , $S_2$ die Zeit des 2. Ereignisses darstellen würde.

Alternative Ansätze werden geschätzt. Die bereitgestellten Ansätze werden häufig beim Erlernen der Warteschlangentheorie und stochastischer Prozesse verwendet.

Die Exponentialverteilung ist ein Sonderfall der Gammaverteilung (mit Formparameter $1$ ). Ich habe gelernt, dass es hier eine allgemeinere Version davon gibt , die angewendet werden kann.

Konditionierungsansatz
Bedingung für den Wert von $X_1$ . Beginnen Sie mit der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) für $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= \int_0^\infty P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)f_{X_1}(x_1)dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_1+X_2\le x|X_1=x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x P(X_2 \le x - x_1)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1 \\ &= \int_0^x\left(1-\text{e}^{-\lambda(x-x_1)}\right)\lambda \text{e}^{-\lambda x_1}dx_1\\ &=(1-e^{-\lambda x}) - \lambda x e^{-\lambda x}\end{align}$

Dies ist die CDF der Distribution. Um das PDF zu erhalten, differenzieren Sie in Bezug auf $x$ ( siehe hier ).

Dies ist eine Erlang $(2,\lambda)$ -Verteilung (siehe hier) .

Allgemeiner Ansatz
Direkte Integration unter Berufung auf die Unabhängigkeit von $X_1$ & $X_2$ . Beginnen Sie erneut mit der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) für $S_2$ .

$\begin{align} F_{S_2}(x) &= P(S_2\le x) \\ &= P(X_1 + X_2 \le x) \\ &= P\left( (X_1,X_2)\in A \right) \quad \quad \text{(See figure below)}\\ &= \int\int_{(x_1,x_2)\in A} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)dx_1 dx_2 \\ &(\text{Joint distribution is the product of marginals by independence}) \\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} f_{X_1}(x_1)f_{X_2}(x_2)dx_1 dx_2\\ &= \int_0^{x} \int_0^{x-x_{2}} \lambda \text{e}^{-\lambda x_1}\lambda \text{e}^{-\lambda x_2}dx_1 dx_2\\ \end{align}$

Da dies die CDF ist, ergibt die Differenzierung das PDF, $f_{S_2}(x) = \lambda^2 x \text{e}^{-\lambda x} \quad\square$

MGF-Ansatz
Dieser Ansatz verwendet die Momenterzeugungsfunktion (MGF).

$\begin{align} M_{S_2}(t) &= \text{E}\left[\text{e}^{t S_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t(X_1 + X_2)}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1 + t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1} \text{e}^{t X_2}\right] \\ &= \text{E}\left[\text{e}^{t X_1}\right]\text{E}\left[\text{e}^{t X_2}\right] \quad \text{(by independence)} \\ &= M_{X_1}(t)M_{X_2}(t) \\ &= \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right) \quad \quad t<\lambda\\ &= \frac{\lambda^2}{(\lambda-t)^2} \quad \quad t<\lambda \end{align}$