Verteilung der Exponentialsumme

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Sei X1 und X2 unabhängige und identisch verteilte exponentielle Zufallsvariablen mit der Rate λ . Sei S2=X1+X2 .

F: Zeigen Sie, dass S2 PDF hat. fS2(x)=λ2xeλx,x0 .

Es ist zu beachten, dass, wenn Ereignisse gemäß einem Poisson-Prozess (PP) mit der Rate λ auftraten , S2 die Zeit des 2. Ereignisses darstellen würde.

Alternative Ansätze werden geschätzt. Die bereitgestellten Ansätze werden häufig beim Erlernen der Warteschlangentheorie und stochastischer Prozesse verwendet.


Die Exponentialverteilung ist ein Sonderfall der Gammaverteilung (mit Formparameter 1 ). Ich habe gelernt, dass es hier eine allgemeinere Version davon gibt , die angewendet werden kann.

SecretAgentMan
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Diese Frage ist ein ganz besonderer Fall (und eines der einfachsten möglichen Beispiele) einer Summe von Gammaverteilungen. (Das Exponential ist eine Gamma-Verteilung mit einem Formparameter von ) Sie können also jede der Antworten unter stats.stackexchange.com/questions/72479 anwenden . 1.
whuber
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Vielen Dank. Ich war nicht bewusst , dass allgemeinere Frage , obwohl ich weiß , hat die Exponential ist eine Gamma - Verteilung mit einem Formparameter von 1. Ich hoffe , werden mir zustimmen , das Q / A ist in Ordnung , wie sie ist und nicht gelöscht werden sollen. Dies ist in einigen technischen Disziplinen eine sehr häufige Frage und sicherlich zugänglicher, als direkt mit dem Hinzufügen von Gamma-Verteilungen zu beginnen.
SecretAgentMan
@whuber Ich habe die Frage aktualisiert und erwähne speziell die allgemeinere Frage. Vielen Dank.
SecretAgentMan
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Aus den von Ihnen angegebenen Gründen und weil Sie einen klaren Bericht über Lösungen angeboten haben, die speziell in diesem Fall funktionieren, habe ich nicht dafür gestimmt, dies als Duplikat zu schließen.
whuber
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Ich denke, die Abstimmung über Ihre Frage und Ihre Antwort hat deutlich gezeigt, was die Community von diesem Thread hält. :-)
whuber

Antworten:

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Konditionierungsansatz
Bedingung für den Wert von X1 . Beginnen Sie mit der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) für S2 .

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=0P(X1+X2x|X1=x1)fX1(x1)dx1=0xP(X1+X2x|X1=x1)λeλx1dx1=0xP(X2xx1)λeλx1dx1=0x(1eλ(xx1))λeλx1dx1=(1eλx)λxeλx

Dies ist die CDF der Distribution. Um das PDF zu erhalten, differenzieren Sie in Bezug auf x ( siehe hier ).

fS2(x)=λ2xeλx

Dies ist eine Erlang (2,λ) -Verteilung (siehe hier) .


Allgemeiner Ansatz
Direkte Integration unter Berufung auf die Unabhängigkeit von X1 & X2 . Beginnen Sie erneut mit der kumulativen Verteilungsfunktion (CDF) für S2 .

FS2(x)=P(S2x)=P(X1+X2x)=P((X1,X2)A)(See figure below)=(x1,x2)AfX1,X2(x1,x2)dx1dx2(Joint distribution is the product of marginals by independence)=0x0xx2fX1(x1)fX2(x2)dx1dx2=0x0xx2λeλx1λeλx2dx1dx2

Da dies die CDF ist, ergibt die Differenzierung das PDF, fS2(x)=λ2xeλx Zahl


MGF-Ansatz
Dieser Ansatz verwendet die Momenterzeugungsfunktion (MGF).

MS2(t)=E[etS2]=E[et(X1+X2)]=E[etX1+tX2]=E[etX1etX2]=E[etX1]E[etX2](by independence)=MX1(t)MX2(t)=(λλt)(λλt)t<λ=λ2(λt)2t<λ

SecretAgentMan
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Sie haben sowohl die Frage als auch die Antwort geschrieben. Was ist dein Punkt, wenn ich fragen darf?
Xi'an
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@ Xi'an, ich dachte, SE hat ermutigt, die Frage zu stellen und zu beantworten ... Ich kann einen Screenshot machen, in dem SE das für Sie zu fördern scheint, wenn Sie wollen. Ich habe viele grundlegende Fragen gesehen, die wiederholt gestellt wurden, und ich habe darüber nachgedacht, einige spezifische Ansätze zu veröffentlichen, auf die ich Menschen verweisen kann. Ich konnte so etwas nicht finden und ich kann Leute für eine Vielzahl von Dingen darauf verweisen. Wenn die CV-Community diesen Beitrag wirklich so sehr hasst, werde ich ihn freiwillig löschen.
SecretAgentMan
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@ Xi'an respekt, ich glaube , Sie beide gefragt , und eine Frage beantwortet hier .
SecretAgentMan
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@ Xi'an Vielleicht möchten Sie stats.stackexchange.com/help/self-answer
Sycorax sagt Reinstate Monica
Ich habe nicht genug Karma, um einen Kommentar abzugeben, aber ich denke, dies ist ein lohnender Kommentar, also poste ich hier. Können Sie für den allgemeinen Ansatz die Schritte (oder einen Beweis) vom Doppelintegral zum endgültigen Ausdruck anzeigen? Ich habe mich abgeleitet und bekomme die gleiche Antwort wie Wolfram. [Link zur Wolfram-Antwort] ( wolframalpha.com/input/… * +% 5Clambda + * + e% 5E (-% 5Clambda + h)% 22 & Annahme =% 7B% 22F% 22, +% 22DoubleIntegral% 22, +% 22intvariable1% 22% 7D + -% 3E% 22g% 22 & Annahme =% 7B% 22F% 22, +% 22DoubleI
Avedis