Warum hat eine endliche, irreduzible und aperiodische Markov-Kette mit einer doppelt stochastischen Matrix P eine gleichmäßige Grenzverteilung?

Der Satz lautet: "Wenn eine Übergangsmatrix für eine irreduzible Markov-Kette mit einem endlichen Zustandsraum S doppelt stochastisch ist, ist ihr (eindeutiges) invariantes Maß über S einheitlich."

Wenn eine Markov-Kette eine doppelt stochastische Übergangsmatrix hat, habe ich gelesen, dass ihre Grenzwahrscheinlichkeiten die gleichmäßige Verteilung ausmachen, aber ich verstehe nicht ganz warum.

Ich habe versucht, einen verständlichen Beweis dafür zu finden. Aber die Beweise, die ich finde, beschönigen alle Details, die ich nicht verstehe, wie Satz 15.5 hier (warum funktioniert es, nur die [1, ... 1] -Vektoren zu verwenden?) Könnte mich jemand auf mehr hinweisen (oder schreiben) einfacher / detaillierter Beweis?

(Obwohl es nicht Teil von irgendetwas ist, das ich in der Schule abgeben werde, ist es Teil eines Kurses, den ich nehme, also werde ich es in beiden Fällen mit Hausaufgaben versehen.)

probability self-study markov-process Christian Neverdal
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Perron-Frobenius.

Kardinal

@cardinal Warum nicht mit ein wenig Ausarbeitung eine Antwort geben?

Michael R. Chernick

n

$n$

P^{n}

$P^n$

c

$c$

c

$c$

Du hast recht, Douglas. Ich habe jetzt den Satz im verlinkten PDF wörtlich kopiert, um Verwirrung zu vermeiden. Vielen Dank.

Christian Neverdal

Antworten:

$M+1$ $m_j$ $j=0,1,\ldots, M$ $\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ $j$ $\pi_j=\frac{1}{M+1}$

Beweis

$\pi_j$ $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}$ $\sum_{i=0}^M\pi_i=1$

$\pi_i=1$ $\pi_j=\sum_{i=0}^M \pi_iP_{i,j}=\sum_{i=0}^M P_{i,j}=1$ $\pi_i=1$ $M+1$

$\pi_j=\frac{1}{M+1}$

Hypercube
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ν

$\nu$

ν P = ν

$\nu P=\nu$

P

$P$

[1, \dots, 1] P = [1, \dots, 1]

$[1,\cdots,1]P=[1,\cdots,1]$