Verteilung der Summe unabhängiger Exponentiale mit zufälliger Anzahl von Summanden

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Lassen τiexp(λ) unabhängig und identisch verteilte Exponentiale mit Parameter sein λ. Dann für gegebenn, die Summe dieser Werte

Tn:=i=0nτi
folgt einer Erlang-Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
π(Tn=T|n,λ)=λnTn1eλT(n1)!for T,λ0.

Ich interessiere mich für die Verbreitung von Tn~ wo n~ ist eine Zufallsvariable, so dass für τaexp(λa) exponentiell verteilt hält es das

Tn~τaTn~+1>τa.

Mit anderen Worten, Tn~wird durch eine Exponentialverteilung abgeschnitten. Ich kann die Verteilung von nicht ableitenn~ aber vielleicht gibt es einen einfacheren Weg:

π(n~=k)=π(Tn<τa|n=k)=1R+n=0k11n!exp((λ+λa)τa)(τλa)nλadτa.

Nur Sampling und Eye-Balling sehen für mich so aus, als wäre diese Dichte nicht so hässlich:

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

muffin1974
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Ich würde empfehlen, nicht für beide dieselbe Notation zu verwenden τi und die Summe τn.
Brazofuerte
1
Ein Standardname für den Erlang ist die Gamma-Verteilung.
Xi'an

Antworten:

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Wie in dieser X-validierten Antwort beschrieben , warten Sie auf eine Summe von iid exponentiellE(λ) Variiert, um eins zu überschreiten, entsteht ein Poisson P(λ) variieren N. Warten Sie also auf eine Summe von iid ExponentialE(λ) variiert zu überschreiten τa produziert einen Poisson P(τaλ) variieren N, abhängig von τa (seit dem Teilen der Summe durch τa beträgt, um den Exponentialparameter mit zu multiplizieren τa. Deshalb

P(N=n)=0P(N=n|τa)λaeλaτadτa=0(λτa)nn!eτaλλaeλaτadτa=λaλnn!0τaneτa(λ+λa)dτa=λaλnn!Γ(n+1)(λa+λ)n+1=λaλn(λa+λ)n+1
Das ist eine geometrische G(λa/{λa+λ})zufällige Variable. (Hier ist die geometrische Variable eine Reihe von Fehlern, was bedeutet, dass ihre Unterstützung bei Null beginnt.)

Jetzt überlegen N als geometrische Anzahl von Versuchen, N1, Die Verteilung von

ζ=i=1Nτi
die Momenterzeugungsfunktion von ζ ist
E[ezζ]=E[ez{τ1++τN}]=EN[Eτ1[ezτ1]N]=EN[{λ/(λz)}N]=EN[eN(lnλln(λz))]
und die mgf einer geometrischen G(p) variieren ist
φN(z)=pez1(1p)ez
Daher die Momenterzeugungsfunktion von ζ ist
pelnλln(λz)1(1(λa/{λa+λ}))elnλln(λz)=pλλzλ2/{λa+λ}
wo p=λa/{λa+λ}, was zur mfg führt
λλa/{λa+λ}λzλλa/{λa+λ}2=11z(pλ)1
bedeutet, dass ζ ist ein Exponential E(λλa/{λa+λ}) variieren.

Xi'an
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Vielen Dank @ Xi'an! Verstehe ich das richtig in deiner Notation?p=λa/(λa+λ)? Denn dann entspricht die Momenterzeugungsfunktion in der letzten Zeile11z(pλ)1Das entspricht dem MGF einer Exponentialverteilung.
Muffin1974