Ich dachte an dieses Problem in der Dusche, es wurde von Anlagestrategien inspiriert.

Nehmen wir an, es gab einen magischen Geldbaum. Jeden Tag können Sie dem Geldbaum einen Geldbetrag anbieten, der entweder verdreifacht oder mit einer Wahrscheinlichkeit von 50/50 zerstört wird. Sie merken sofort, dass Sie damit im Durchschnitt Geld verdienen und den Geldbaum gerne nutzen. Wenn Sie jedoch Ihr gesamtes Geld auf einmal anbieten, würden Sie 50% Ihres gesamten Geldes verlieren. Inakzeptabel! Sie sind eine ziemlich risikoaverse Person und entscheiden sich daher für eine Strategie. Sie möchten die Wahrscheinlichkeit minimieren, alles zu verlieren, aber Sie möchten auch so viel Geld wie möglich verdienen! Sie haben folgendes herausgefunden: Sie bieten jeden Tag 20% ​​Ihres aktuellen Kapitals für den Geldbaum an. Unter der Annahme, dass der niedrigste Preis, den Sie anbieten können, 1 Cent beträgt, bräuchten Sie 31 Verluste, um Ihr gesamtes Geld zu verlieren, wenn Sie mit 10 Dollar anfangen. Was ist mehr, Je mehr Geld Sie verdienen, desto länger müssen Sie verlieren, um alles zu verlieren. Sie verdienen schnell eine Menge Geld. Aber dann taucht eine Idee in Ihrem Kopf auf: Sie können nur 30% pro Tag anbieten und viel mehr Geld verdienen! Aber warte, warum nicht 35% anbieten? 50%? Eines Tages rennst du mit großen Dollarzeichen in deinen Augen mit all deinen Millionen zum Geldbaum und bietest 100% deines Bargeldes an, das der Geldbaum sofort verbrennt. Am nächsten Tag bekommen Sie einen Job bei McDonalds. was der Geldbaum sofort verbrennt. Am nächsten Tag bekommen Sie einen Job bei McDonalds. was der Geldbaum sofort verbrennt. Am nächsten Tag bekommen Sie einen Job bei McDonalds.

Gibt es einen optimalen Prozentsatz Ihres Bargeldes, den Sie anbieten können, ohne alles zu verlieren?

(Unter-) Fragen:

Wenn es einen optimalen Prozentsatz gibt, den Sie anbieten sollten, ist dieser statisch (dh 20% pro Tag), oder sollte der Prozentsatz mit der Erhöhung Ihres Kapitals zunehmen?

Verringern oder erhöhen sich mit der Zeit die Chancen, Ihr gesamtes Geld zu verlieren, indem Sie täglich 20% anbieten? Gibt es einen bestimmten Prozentsatz an Geld, ab dem die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Ihr gesamtes Geld verlieren, mit der Zeit zunimmt?

Dies ist ein bekanntes Problem. Es wird eine Kelly-Wette genannt. Die Antwort ist übrigens 1/3. Dies entspricht der Maximierung des Protokollnutzens von Wohlstand.

Kelly begann damit, sich Zeit für die Unendlichkeit zu nehmen und sich dann rückwärts zu lösen. Da Sie Retouren immer in Form von fortlaufenden Compounds ausdrücken können, können Sie den Vorgang auch umkehren und in Protokollen ausdrücken. Ich werde die Erklärung des Protokolldienstprogramms verwenden, aber das Protokolldienstprogramm ist eine Annehmlichkeit. Wenn Sie den Reichtum mit maximieren, erhalten Sie eine Funktion, die mit dem Protokolldienstprogramm identisch ist. Wenn die Gewinnchance ist und die Gewinnwahrscheinlichkeit ist und der Prozentsatz des investierten Vermögens ist, funktioniert die folgende Ableitung.$n\to\infty$$b$$p$$X$

Bei einer binären Wette ist für eine einzelne Periode und ein einzelnes Vermögen.$E(\log(X))=p\log(1+bX)+(1-p)\log(1-X)$

Setzen Sie die Ableitung auf Null, um die Extreme zu finden.

Kreuz Vervielfachungs, beenden Sie mit bis

In Ihrem Fall ist

Sie können dies problemlos auf mehrere oder kontinuierliche Ergebnisse ausweiten, indem Sie den erwarteten Nutzen des Reichtums über eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung hinweg lösen, die Allokationen auswählen und eventuellen Einschränkungen unterliegen. Interessanterweise haben Sie, wenn Sie dies auf diese Weise tun, indem Sie Einschränkungen wie die Fähigkeit, Hypothekenzahlungen zu erfüllen, usw. einbeziehen, Ihre gesamten Risiken berücksichtigt und somit ein risikoadjustiertes oder zumindest risikokontrolliertes System eingerichtet Lösung.

Desiderata Der eigentliche Zweck der ursprünglichen Untersuchung bestand darin, wie viel auf der Grundlage eines verrauschten Signals zu spielen ist. Im konkreten Fall, wie viel auf ein lautes elektronisches Signal zu setzen ist, auf das die Einführung von Atomwaffen durch die Sowjetunion hindeutet. Sowohl die Vereinigten Staaten als auch Russland haben mehrere beinahe irrtümliche Starts durchgeführt. Wie viel setzen Sie auf ein Signal?

Ich mochte die Antwort von Dave Harris. obwohl ich das Problem eher aus der Perspektive eines "niedrigen Risikos" als einer Gewinnmaximierung betrachten würde

Der Zufallsrundgang, den Sie machen, wird unter der Annahme, dass Ihr Fraktionseinsatz und die Gewinnwahrscheinlichkeit von gegeben ist als wobei . Sie haben im Durchschnitt Sie können dies iterativ anwenden, um mit dem erwarteten Wert Sie den Betrag zum Zeitpunkt als Funktion einer einzelnen Zufallsvariablen ausdrücken , wobei jedoch zu beachten ist, dass nicht unabhängig von$q$$p=0.5$

mögliche Strategie

Sie können diese Formel verwenden, um einen Wert für "geringes Risiko" für zu bestimmen . Angenommen, Sie wollten sicherstellen, dass Sie nach aufeinanderfolgenden Verlusten noch die Hälfte Ihres ursprünglichen Vermögens hatten. Dann setzen Sie$q$$k$$q=1-2^{-k^{-1}}$

Im Beispiel bedeutet dass wir , oder mit wir .$k=5$$q=0.129$$k=15$$q=0.045$

Aufgrund des rekursiven Charakters der Strategie ist dieses Risiko auch das, was Sie bei jeder einzelnen Wette eingehen. Das heißt, zum Zeitpunkt , durch die weitere Sie spielen werden um sicherzustellen , dass zum Zeitpunkt Ihr Vermögen zumindest wird$s$$k+s$$0.5Y_{s}$

Diskussion

Die obige Strategie hängt nicht von der Auszahlung des Gewinns ab, sondern davon, dem Verlieren eine Grenze zu setzen. Wir können die erwarteten Gewinne erhalten, indem wir den von uns berechneten Wert für und den Zeitpunkt , der unter Berücksichtigung des Risikos verwendet wurde.$q$$k$

Es ist jedoch interessant, eher den Median als den erwarteten Gewinn zum Zeitpunkt , der durch die Annahme des . Wenn , haben wir das Verhältnis gleich . Dies wird maximiert, wenn und größer als wenn$t$$median(Z_t)\approx tp$

Es ist auch interessant, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Sie zum Zeitpunkt voraus sind . dies zu tun , müssen wir den Wert bestimmen , so dass tun einige Neuanordnung wir feststellen , dass der Anteil der Gewinne sollte genügen Dies kann in einer normalen Näherung (Anmerkung: Mittelwert von und Standardfehler von ) als $t$$z$

Das zeigt deutlich, dass das Spiel sehr gute Chancen hat. Der Faktor, der multipliziert, wird minimiert, wenn (maximierter Wert von ) und nimmt als Funktion von monoton ab . Daher besteht die Strategie des geringen Risikos darin, einen sehr kleinen Teil Ihres Vermögens zu setzen und eine große Anzahl von Malen zu spielen.$\sqrt{t}$$q=0$$\frac{1}{3}$$q$

Angenommen, wir vergleichen dies mit und . der faktor für jeden fall ist und . Dies bedeutet, dass Sie nach Spielen eine Chance von rund 95% haben, die kleine Wette zu gewinnen, verglichen mit einer Chance von 75% bei der größeren Wette. Darüber hinaus haben Sie auch die Möglichkeit, mit dem höheren Einsatz pleite zu gehen, vorausgesetzt, Sie mussten Ihren Einsatz auf die nächsten 5 Cent oder Dollar runden. Beginnend mit könnte dies . Dies ist eine Folge von Verlusten aus , und angesichts der Tatsache, dass das Spiel erwarten würde$q=\frac{1}{3}$$q=\frac{1}{100}$$0.11$$0.32$$38$$20$$13.35, 8.90,5.95,3.95,2.65,1.75,1.15,0.75,0.50,0.35,0.25,0.15,0.1,0.05,0$$14$$38$$19$Verluste, wenn Sie mit den ersten Einsätzen Pech haben, kann es sein, dass selbst das Gewinnen eine Pechsträhne nicht wettmacht (z. B. wenn die meisten Ihrer Gewinne eintreten, sobald der größte Teil des Vermögens weg ist). mit dem kleineren Anteil von 1% pleite zu gehen, ist in Spielen nicht möglich . Die Kehrseite ist, dass der geringere Einsatz im Durchschnitt einen viel geringeren Gewinn zur Folge hat, etwa eine fache Steigerung bei der großen Wette im Vergleich zu einer fachen Steigerung bei der kleinen Wette (dh Sie erwarten 24 Dollar nach 38 Runden bei der kleinen Wette) Wette und 7000 Dollar mit der großen Wette).$38$$350$$1.2$

Ich denke nicht, dass dies viel anders ist als das Martingale. In Ihrem Fall gibt es keine doppelten Einsätze, aber die Gewinnauszahlung ist 3x.

Ich habe eine "lebende Replik" Ihres Baumes codiert. Ich führe 10 Simulationen durch. In jeder Simulation (Kurve) beginnen Sie mit 200 Münzen und versuchen es mit dem Baum, jeweils 20.000 Mal mit 1 Münze.

Die einzigen Bedingungen, die die Simulation stoppen, sind Konkurs oder 20.000 Versuche "überstanden" zu haben

Ich denke, dass, egal wie die Chancen stehen, früher oder später Konkurs auf Sie wartet.

Der Code ist improvisiertes Javascript, aber frei von Abhängigkeiten: https://repl.it/@cilofrapez/MagicTree-Roulette

Es zeigt Ihnen die Ergebnisse sofort. Der Code ist einfach zu optimieren: Um so viele Simulationen auszuführen, wie viel Einsatz, wie viele Versuche auch immer ... Sie können spielen!

Am Ende des Codes werden die Ergebnisse jeder Simulation (standardmäßig 10) in einer CSV-Datei mit zwei Spalten gespeichert: Spin-Nummer und Geld. Ich habe das gemacht, damit es einem Online-Plotter für die Grafiken zugeführt werden kann.

Es wäre mühelos, alles lokal zu automatisieren, zum Beispiel mithilfe der Google Charts-Bibliothek. Wenn Sie nur die Ergebnisse auf dem Bildschirm sehen möchten, können Sie den letzten Teil wie in der Datei erwähnt auskommentieren.

BEARBEITEN

Quellcode:

/**
 * License: MIT
 * Author: Carles Alcolea, 2019
 * Usage: I recommend using an online solution like repl.it to run this code.
 * Nonetheless, having node installed, it's as easy as running `node magicTree.js`.
 *
 * The code will run `simulations` number of scenarios, each scenario is equal in settings
 * which are self-descriptive: `betAmount`,`timesWinPayout`, `spinsPerSimulation`, `startingBankRoll`
 * and `winningOdds`.
 *
 * At the end of the code there's a part that will generate a *.csv file for each simulation run.
 * This is useful for ploting the resulting data using any such service or graphing library. If you
 * wish the code to generate the files for you, just set `saveResultsCSV` to true. All files will
 * have two columns: number of spin and current bankroll.
 */

const fs = require('fs'); // Only necessary if `saveResultsCSV` is true

/**
 * ==================================
 * You can play with the numbers of the following variables all you want:
 */
const betAmount          = 0.4,   // Percentage of bankroll that is offered to the tree
      winningOdds        = 0.5,
      startingBankRoll   = 200,
      timesWinPayout     = 2,
      simulations        = 5,
      spinsPerSimulation = 20000,
      saveResultsCSV     = false;
/**
 * ==================================
 */

const simWins = [];
let currentSim = 1;

//* Each simulation:
while (currentSim <= simulations) {
  let currentBankRoll = startingBankRoll,
      spin            = 0;
  const resultsArr  = [],
        progressArr = [];

  //* Each spin/bet:
  while (currentBankRoll > 0 && spin < spinsPerSimulation) {
    if (currentBankRoll === Infinity) break; // Can't hold more cash!
    let currentBet = Math.ceil(betAmount * currentBankRoll);
    if (currentBet > currentBankRoll) break;  // Can't afford more bets... bankrupt!

    const treeDecision = Math.random() < winningOdds;
    resultsArr.push(treeDecision);
    if (treeDecision) currentBankRoll += currentBet * timesWinPayout; else currentBankRoll -= currentBet;
    progressArr.push(currentBankRoll);
    spin++;
  }

  const wins = resultsArr.filter(el => el === true).length;
  const losses = resultsArr.filter(el => el === false).length;
  const didTheBankRollHold = (resultsArr.length === spinsPerSimulation) || currentBankRoll === Infinity;

  const progressPercent = didTheBankRollHold ? `(100%)` : `(Bankrupt at aprox ${((resultsArr.length / parseFloat(spinsPerSimulation)) * 100).toPrecision(4)}% progress)`;

  // Current simulation summary
  console.log(`
  - Simulation ${currentSim}: ${progressPercent === '(100%)' ? '✔' : '✘︎'}
    Total:      ${spin} spins out of ${spinsPerSimulation} ${progressPercent}
    Wins:       ${wins} (aprox ${((wins / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Losses:     ${losses} (aprox ${((losses / parseFloat(resultsArr.length)) * 100).toPrecision(4)}%)
    Bankroll:   ${currentBankRoll}
  `);

  if (didTheBankRollHold) simWins.push(1);

  /**
   * ==================================
   * Saving data?
   */
  if (saveResultsCSV) {
    let data = `spinNumber, bankRoll`;
    if (!fs.existsSync('CSVresults')) fs.mkdirSync('CSVresults');
    progressArr.forEach((el, i) => {
      data += `\n${i + 1}, ${el}`;
    });
    fs.writeFileSync(`./CSVresults/results${currentSim}.csv`, data);
  }
  /**
   * ==================================
   */

  currentSim++;
}

// Total summary
console.log(`We ran ${simulations} simulations, with the goal of ${spinsPerSimulation} spins in each one.
Our bankroll (${startingBankRoll}) has survived ${simWins.length} out of ${simulations} simulations, with ${(1 - winningOdds) * 100}% chance of winning.`);
```

Problemstellung

Es sei der Logarithmus des Geldbetrags den der Spieler zum Zeitpunkt .$Y_t = \log_{10}(M_t)$$M_t$$t$

Lassen der Anteil des Geldes sein , dass die Spieler Wette ist.$q$

Sei der Geldbetrag, mit dem der Spieler beginnt (zehn Dollar). Sei der Geldbetrag, bei dem der Spieler bankrott geht (unter 1 Cent). Der Einfachheit halber fügen wir eine Regel , dass der Spieler das Spielen nicht mehr , wenn er eine gewisse Menge an Geld passiert hat (wir , indem die Grenze später heben diese Regel kann ).$Y_0 = 1$$Y_L=-2$$Y_W$$Y_W \to \infty$

Zielloser Spaziergang

Sie können das Wachstum und den Rückgang des Geldes als asymmetrischen Zufallsrundgang sehen. Das heißt, Sie können wie folgt beschreiben :$Y_t$

woher

Wahrscheinlichkeit des Konkurses

Martingal

Der Ausdruck

ist ein Martingal, wenn wir so wählen , dass.$c$

Wahrscheinlichkeit, bankrott zu gehen

Die Stoppzeit (Verlieren / Konkurs oder Gewinnen ) ist mit ziemlicher Sicherheit begrenzt, da sie im schlimmsten Fall eine Gewinnserie (oder eine Verlustserie) einer bestimmten begrenzten Länge, , was mit ziemlicher Sicherheit passieren wird.$Y_t < Y_L$$Y_t>Y_W$$\frac{Y_W-Y_L}{a_w}$

Dann können wir den optionalen Stoppsatz verwenden, um zu sagen, dass zum Stoppzeitpunkt gleich dem erwarteten Wert zum Zeitpunkt Null ist.$E[Z_\tau]$$\tau$$E[Z_0]$

Somit

und

und das Limit$Y_W \to \infty$

Schlussfolgerungen

Gibt es einen optimalen Prozentsatz Ihres Bargeldes, den Sie anbieten können, ohne alles zu verlieren?

Welcher der optimale Prozentsatz ist, hängt davon ab, wie Sie unterschiedliche Gewinne bewerten. Wir können jedoch etwas über die Wahrscheinlichkeit sagen, alles zu verlieren.

Nur wenn der Spieler einen Nullbruch seines Geldes setzt, wird er mit Sicherheit nicht bankrott gehen.

Mit zunehmendem steigt die Wahrscheinlichkeit eines Bankrotts bis zu einem Punkt, an dem der Spieler mit ziemlicher Sicherheit innerhalb einer begrenzten Zeit bankrott gehen wird (die von Robert Long in den Kommentaren erwähnte Ruine des Spielers). Dieser Punkt, , befindet sich bei Dies ist der Punkt, an dem es keine Lösung für unter eins gibt. Dies ist auch der Punkt, an dem die Erhöhungsschritte kleiner sind als die Verringerungsschritte .$q$$q_{\text{gambler's ruin}}$

Für wird der Spieler also nicht sicher bankrott gehen , solange der Spieler weniger als die Hälfte des Geldes setzt .$b=2$

Verringern oder erhöhen sich die Chancen, Ihr gesamtes Geld zu verlieren, mit der Zeit?

Die Wahrscheinlichkeit eines Bankrotts hängt von der Entfernung zum Geldbetrag ab, in dem der Spieler bankrott geht. Wenn , steigt das Geld des Spielers im Durchschnitt, und die Wahrscheinlichkeit, bankrott zu gehen, sinkt im Durchschnitt.$q<q_{\text{gambler's ruin}}$

Insolvenzwahrscheinlichkeit bei Verwendung des Kelly-Kriteriums.

Wenn Sie das in der Dave Harris-Antwort erwähnte Kelly-Kriterium verwenden, , wobei das Verhältnis zwischen Verlust und Gewinn bei einer einzelnen Wette ist, dann ist der Wert von unabhängig von gleich und die Wahrscheinlichkeit, bankrott zu gehen, wird .$q = 0.5(1-1/b)$$b$$b$$c$$0.1$$0.1^{S-L}$

Das heißt, unabhängig von dem Assymetrieparameter des Magic Tree ist die Wahrscheinlichkeit eines Bankrotts bei Verwendung des Kelly-Kriteriums gleich dem Verhältnis des Geldbetrags, bei dem der Spieler bankrott geht, und des Geldbetrags, mit dem der Spieler beginnt mit. Für zehn Dollar und 1 Cent ist dies eine Wahrscheinlichkeit von 1: 1000, wenn das Kelly-Kriterium angewendet wird.$b$

Simulationen

Die folgenden Simulationen zeigen verschiedene simulierte Flugbahnen für verschiedene Glücksspielstrategien. Die roten Trajektorien sind diejenigen, die bankrott (auf die Linie treffen ).$Y_t=-2$

Gewinnverteilung nach dem Zeitpunkt$t$

Um die möglichen Ergebnisse des Spielens mit dem Geldbaum weiter zu veranschaulichen, können Sie die Verteilung von als eindimensionalen Diffusionsprozess in einem homogenen Kraftfeld und mit einer absorbierenden Grenze (wo der Spieler bankrott geht) modellieren . Die Lösung für diese Situation hat Smoluchowski gegeben$Y_t$

Smoluchowski, Marian V. "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und deren Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung." Annalen der Physik 353,24 (1916): 1103-1112. (online verfügbar unter: https://www.physik.uni-augsburg.de/theo1/hanggi/History/BM-History.html )

Gleichung 8:

$$W(x_0,x,t) = \frac{e^{-\frac{c(x-x_0)}{2D} - \frac{c^2 t}{4D}}}{2 \sqrt{\pi D t}} \left[ e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}} - e^{-\frac{(x+x_0)^2}{4Dt}} \right]$$

Diese Diffusionsgleichung bezieht sich auf das Baumproblem, wenn wir die Geschwindigkeit gleich der erwarteten Zunahme , wir setzen gleich der Varianz der Änderung in einem einzelnen Schritt , ist die anfänglicher Geldbetrag, und ist die Anzahl der Schritte.$c$$E[Y_t]$$D$$\text{Var}(X_t)$$x_0$$t$

Das Bild und der Code unten veranschaulichen die Gleichung:

• Das Histogramm zeigt das Ergebnis einer Simulation.

• Die gepunktete Linie zeigt ein Modell, wenn wir eine naive Normalverteilung verwenden, um die Verteilung zu approximieren (dies entspricht dem Fehlen der absorbierenden 'Konkurs'-Barriere). Dies ist falsch, da einige der Ergebnisse über dem Konkursniveau Flugbahnen beinhalten, die das Konkursniveau zu einem früheren Zeitpunkt überschritten haben.

• Die durchgezogene Linie ist die Näherung nach der Formel von Smoluchowski.

Codes

#
## Simulations of random walks and bankruptcy:
#

# functions to compute c
cx = function(c,x) {
  c^log(1-x,10)+c^log(1+2*x,10) - 2
}
findc = function(x) {
  r <- uniroot(cx, c(0,1-0.1^10),x=x,tol=10^-130)
  r$root
}


# settings
set.seed(1)
n <- 100000
n2 <- 1000
q <- 0.45

# repeating different betting strategies
for (q in c(0.35,0.4,0.45)) {
  # plot empty canvas
  plot(1,-1000,
       xlim=c(0,n2),ylim=c(-2,50),
       type="l",
       xlab = "time step", ylab = expression(log[10](M[t])) )

  # steps in the logarithm of the money
  steps <- c(log(1+2*q,10),log(1-q,10))

  # counter for number of bankrupts
  bank <- 0

  # computing 1000 times
  for (i in 1:1000) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
    # compute log of money
    Y_t <- 1+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(-2 > Y_t)))
    if (tau<n) {
      bank <- bank+1
    }
    # plot only 100 to prevent clutter
    if (i<=100) {
      col=rgb(tau<n,0,0,0.5)
      lines(1:tau,Y_t[1:tau],col=col)
    }
  }
  text(0,45,paste0(bank, " bankruptcies out of 1000 \n", "theoretic bankruptcy rate is ", round(findc(q)^3,4)),cex=1,pos=4)
  title(paste0("betting a fraction ", round(q,2)))
}

#
## Simulation of histogram of profits/results
#

# settings
set.seed(1)
rep <- 10000  # repetitions for histogram
n   <- 5000   # time steps
q   <- 0.45    # betting fraction
b   <- 2      # betting ratio loss/profit
x0  <- 3      # starting money

# steps in the logarithm of the money
steps <- c(log(1+b*q,10),log(1-q,10))

# to prevent Moiré pattern in
# set binsize to discrete differences in results
binsize <- 2*(steps[1]-steps[2]) 

for (n in c(200,500,1000)) {

  # computing several trials
  pays <- rep(0,rep)
  for (i in 1:rep) {
    # sampling wins or looses
    X_t <- sample(steps, n, replace = TRUE)
      # you could also make steps according to a normal distribution
      # this will give a smoother histogram
      # to do this uncomment the line below
    # X_t <- rnorm(n,mean(steps),sqrt(0.25*(steps[1]-steps[2])^2))

    # compute log of money
    Y_t <- x0+cumsum(X_t)
    # compute money
    M_t <- 10^Y_t
    # optional stopping (bankruptcy)
    tau <- min(c(n,which(Y_t < 0)))
    if (tau<n) {
      Y_t[n] <- 0
      M_t[n] <- 0
    }
    pays[i] <- Y_t[n]
  }

  # histogram
  h <- hist(pays[pays>0],
            breaks = seq(0,round(2+max(pays)),binsize), 
            col=rgb(0,0,0,0.5),
            ylim=c(0,1200),
            xlab = "log(result)", ylab = "counts",
            main = "")
  title(paste0("after ", n ," steps"),line = 0)  

  # regular diffusion in a force field (shifted normal distribution)
  x <- h$mids
  mu <- x0+n*mean(steps)
  sig <- sqrt(n*0.25*(steps[1]-steps[2])^2)
  lines(x,rep*binsize*(dnorm(x,mu,sig)), lty=2)

  # diffusion using the solution by Smoluchowski
  #   which accounts for absorption
  lines(x,rep*binsize*Smoluchowski(x,x0,0.25*(steps[1]-steps[2])^2,mean(steps),n))

}