Folgt der Posterior notwendigerweise der gleichen bedingten Abhängigkeitsstruktur wie der Prior?

Eine der Annahmen in einem Modell ist die bedingte Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen in der gemeinsamen vorherigen Verteilung. Betrachten Sie das folgende Modell:

$$p(a,b|X) \propto p(X|a,b)p(a,b)$$

Nehmen wir nun eine Unabhängigkeitsannahme für den Prior an $p(a,b) = p(a)p(b)$.

Bedeutet diese Annahme, dass der Posterior auch die folgende bedingte Abhängigkeit hat?

$$p(a|X)p(b|X) \propto p(X|a,b)p(a)p(b)$$

Ihre Frage kann auch wie folgt angegeben werden: "$X$ ist abhängig von $a$ und $b$. Und$a$ und $b$sind unabhängig. Bedeutet das, dass$a$ und $b$ sind bedingt unabhängig gegeben $X$? "

Die Antwort ist nein. Wir brauchen nur ein Gegenbeispiel, um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist. Annehmen$X = a + b$.

Dann, sobald wir es wissen $X$'s Wert, $a$ und $b$sind abhängig (Informationen über einen sagen uns, was der andere sein wird). Nehmen wir zum Beispiel an$X=5$. Dann wenn$a=3$, es sagt uns das $b=2$. Ebenso wenn$b=4$, es sagt $a=1$.

Nein, tut es nicht: Unter der Annahme, dass$a \ \bot \ b$Die rechte Seite Ihrer letzten Gleichung lautet:

$$p(x|a,b) \cdot p(a) \cdot p(b) = p(x,a,b) \overset{a,b}{\propto} p(a,b|x).$$

Sie fragen sich also effektiv, ob:

$$a \ \bot \ b \quad \quad \implies \quad \quad p(a|x) \cdot p(b|x) \propto p(a,b|x).$$

Das heißt, Sie fragen, ob vorherige Unabhängigkeit von $a$ und $b$impliziert die posteriore Unabhängigkeit dieser Zufallsvariablen. Im Allgemeinen nicht - viele statistische Modelle enthalten Daten$x$die Informationen über beide früheren Variablen geben, so dass sie a posteriori eine statistische Abhängigkeit aufweisen .