Warum ist die Cauchy-Verteilung so nützlich?

Kann mir jemand einige praktische Beispiele für die Cauchy-Verteilung geben? Was macht es so beliebt?

Zusätzlich zu ihrer Nützlichkeit in der Physik wird die Cauchy-Verteilung häufig in Finanzmodellen verwendet, um Abweichungen der Renditen vom Vorhersagemodell darzustellen. Der Grund dafür ist, dass Finanzfachleute Modelle mit schwachen Verteilungen (z. B. der Normalverteilung) für ihre Renditen nicht verwenden, und sie es im Allgemeinen vorziehen, in die andere Richtung zu gehen und eine Verteilung mit sehr starken Verteilungen (z. B. der Normalverteilung) zu verwenden der Cauchy). Die Geschichte der Finanzen ist übersät mit katastrophalen Vorhersagen, die auf Modellen basieren, deren Verteilungen nicht stark genug waren. Die Cauchy-Verteilung hat ausreichend schwere Schwänze, so dass ihre Momente nicht existieren, und ist daher ein idealer Kandidat, um einen Fehlerbegriff mit extrem schweren Schwänzen anzugeben.

Beachten Sie, dass dieses Problem der fälschlichen Fettheit von Schwänzen in Finanzmodellen einer der Hauptinhalte der populären Kritik von Taleb (2007) war . In diesem Buch weist Taleb auf Fälle hin, in denen Finanzmodelle die Normalverteilung für Fehler verwendet haben, und stellt fest, dass dies die wahre Wahrscheinlichkeit von Extremereignissen unterschätzt, die im Finanzbereich besonders wichtig sind. (Meiner Meinung nach gibt dieses Buch eine übertriebene Kritik, da Modelle mit stark schwanzförmigen Abweichungen in der Finanzwelt durchaus üblich sind. In jedem Fall zeigt die Popularität dieses Buches, wie wichtig das Thema ist.)

$X \sim N(0,1)$$Y \sim N(0,1)$$\tfrac{X}{Y} \sim \operatorname{Cauchy}(0,1)$

Die Cauchy-Verteilung ist in der Physik (wo sie als Lorentz-Verteilung bezeichnet wird) wichtig, da sie die Lösung der Differentialgleichung ist, die die erzwungene Resonanz beschreibt. In der Spektroskopie ist es die Beschreibung der Form von Spektrallinien, die einer homogenen Verbreiterung unterliegen, bei der alle Atome auf die gleiche Weise mit dem in der Linienform enthaltenen Frequenzbereich interagieren.

Anwendungen:

• Verwendet in der mechanischen und elektrischen Theorie, in der physikalischen Anthropologie sowie in Mess- und Kalibrierungsproblemen.

• In der Physik spricht man von einer Lorentz-Verteilung, bei der es sich um die Verteilung der Energie eines instabilen Zustands in der Quantenmechanik handelt.

• Wird auch zum Modellieren der Aufprallpunkte einer festen geraden Linie von Partikeln verwendet, die von einer Punktquelle emittiert werden.

Quelle .