Werden Zufallsvariablen nur dann korreliert, wenn ihre Ränge korreliert sind?

Angenommen,$X,Y$ sind kontinuierliche Zufallsvariablen mit endlichen Sekundenmomenten. Die Populationsversion von Spearmans Rangkorrelationskoeffizientkann als der Pearson-Produkt-Moment-Koeffizient ρ der Wahrscheinlichkeitsintegraltransformationenund, wobeidie cdf vonund, dh$ρ_s$$F_X(X)$$F_Y(Y)$$F_X,F_Y$$X$$Y$

$ρ_s(X,Y)=ρ(F(X),F(Y))$ .

Ich frage mich, ob man daraus generell schließen kann

$ρ(X,Y)≠0↔ρ(F(X),F(Y))≠0$ ?

Dh haben wir eine lineare Korrelation, wenn und nur wenn wir eine lineare Korrelation zwischen den Rängen haben?

Update: In den Kommentaren werden zwei Beispiele aufgeführt, warum

$\rho(F_X(X),F_Y(Y))=0\rightarrow \rho(X,Y) = 0$

trifft im Allgemeinen nicht zu, auch wenn und die gleiche Verteilung haben. Die Frage sollte also wie folgt umformuliert werden$X$$Y$

$\rho(X,Y) = 0 \rightarrow \rho(F_X(X),F_Y(Y))$ ?

Es ist für mich auch von großem Interesse, ob dies wahr / falsch ist, wenn und die gleiche Verteilung haben.$X$$Y$

(Hinweis: Wenn und positiv quadrantenabhängig sind, dh δ (x, y) = F_ {X, Y} (x, y) - F_X (x) F_Y (y)> 0, dann gilt die Hoeffdingsche Kovarianzformel Cov (X) , Y) = ∫∫δ (x, y) dxdy ergibt, dass ρ (X, Y)> 0 und ρ (F (X), F (Y))> 0 ist .)$X$$Y$$δ(x,y)=F_{X,Y}(x,y)−F_X(x)F_Y(y)>0$$Cov(X,Y)=∫∫δ(x,y)dxdy$$ρ(X,Y)>0$$ρ(F(X),F(Y))>0$

Keine der beiden Korrelationen, die Null sind, sagt notwendigerweise viel über die andere aus, da sie die Daten - insbesondere die extremen Daten - ganz unterschiedlich "gewichten". Ich werde nur mit Samples spielen, aber ähnliche Beispiele könnten mit bivariaten Verteilungen / Copulas konstruiert werden.

1. Spearman-Korrelation 0 impliziert keine Pearson-Korrelation 0 :

Wie in der Frage erwähnt, gibt es Beispiele in den Kommentaren, aber die Grundstruktur lautet "Konstruiere einen Fall, in dem die Spearman-Korrelation 0 ist, nimm dann einen Extrempunkt und mache ihn extremer, ohne die Spearman-Korrelation zu ändern".

Die Beispiele in den Kommentaren decken das sehr gut ab, aber ich werde hier nur mit einem 'zufälligeren' Beispiel spielen. Betrachten Sie also diese Daten (in R), die konstruktionsbedingt sowohl die Spearman- als auch die Pearson-Korrelation 0 aufweisen:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Addiere nun 1000 zu y [12] und subtrahiere 0,6 von x [9]; Die Spearman-Korrelation ist unverändert, aber die Pearson-Korrelation ist jetzt 0,1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Wenn Sie eine starke Bedeutung für diese Pearson-Korrelation wünschen, replizieren Sie einfach die gesamte Stichprobe mehrmals.)

2. Pearson-Korrelation 0 impliziert keine Spearman-Korrelation 0 :

Hier sind zwei Beispiele mit einer Pearson-Korrelation von Null, aber einer Spearman-Korrelation ungleich Null (und wenn Sie eine starke Bedeutung für diese Spearman-Korrelationen wünschen, replizieren Sie einfach die gesamte Stichprobe mehrmals).

Beispiel 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

Beispiel 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

In diesem letzten Beispiel kann die Spearman-Korrelation verstärkt werden, indem mehr Punkte auf y = x addiert werden, während die beiden Punkte oben links und unten rechts extremer werden, um die Pearson-Korrelation bei 0 zu halten.