Frage in Vorstellungsgesprächen bei Amoeba

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Diese Frage wurde mir während eines Interviews für eine Handelsposition bei einer Eigenhandelsfirma gestellt. Ich würde sehr gerne die Antwort auf diese Frage und die Intuition dahinter wissen.

Amöben Frage: Eine Amöbenpopulation beginnt mit 1. Nach 1 Periode kann sich die Amöbe mit gleicher Wahrscheinlichkeit in 1, 2, 3 oder 0 teilen (sie kann sterben). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Bevölkerung irgendwann ausstirbt?

probability EIN ICH
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Sollen wir annehmen, dass dies jeder mit einer Wahrscheinlichkeit von tut ?

1 / 4

$1/4$

Shabbychef

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Aus biologischer Sicht ist diese Chance 1. Die Umwelt wird sich zwangsläufig zu einem Punkt verändern, an dem keine Bevölkerung überleben kann, da die Sonne in x Milliarden Jahren explodieren soll. Aber ich denke, das ist nicht wirklich die Antwort, nach der er gesucht hat. ;-) Die Frage ergibt auch keinen Sinn. Eine Amoebe kann sich nur in 2 oder 0 teilen. Moral: Händler sollten keine Fragen zur Biologie stellen.

Joris Meys

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Eine solche Frage zum Interview für eine solche Position? Vielleicht ist es so etwas wie dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 ?

1

Dies ist eine nette Frage, wie Mike erwähnt. Die Intuition hier ist, dass die eventuelle Überlebens- / Aussterbungswahrscheinlichkeit zwischen zwei Generationen gleich ist. Eine kreativere Version könnte in Betracht gezogen werden, wenn die Überlebenswahrscheinlichkeit selbst in Abhängigkeit von der Anzahl der vorhandenen Amöben variiert. Ich habe es meinem Site-Blog hinzugefügt.

Brokkoli

1

1) Amöben vermehren sich durch binäre Mitosen. 2) Amöben vermehren sich nicht in abnormalen mitotischen Zahlen, z. B. zu Zeiten 3, wenn solche gesehen würden, wäre dies tödlich. 4) Das Stellen von Fragen während eines Interviews, die Bestätigungsverzerrungen hervorrufen, wird im Allgemeinen als minderwertig angesehen. Rat; Du willst diesen Job vielleicht nicht.

Carl

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Nettes Problem. Dies ist die Art von Sachen, die Probabilisten zum Spaß in ihren Köpfen machen.

Die Technik ist anzunehmen , dass es eine solche Wahrscheinlichkeit vom Aussterben bedroht ist, nennen es . Wenn wir uns dann einen einstufigen Entscheidungsbaum für die möglichen Ergebnisse ansehen, sehen wir - unter Verwendung des Gesetzes der Gesamtwahrscheinlichkeit - dass $P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

Unter der Annahme, dass in den Fällen von 2 oder 3 "Nachkommen" ihre Extinktionswahrscheinlichkeiten IID sind. Diese Gleichung hat zwei mögliche Wurzeln: und . Jemand schlauer als ich könnte erklären, warum die nicht plausibel ist. $1$ $\sqrt{2}-1$ $1$

Jobs müssen knapp werden - welche Art von Interviewer erwartet von Ihnen, dass Sie kubische Gleichungen in Ihrem Kopf lösen?

Mike Anderson
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3

Der Grund, warum 1 keine Wurzel ist, ist leicht zu erkennen, wenn man die erwartete Anzahl von Amöben nach Schritten . es . Man kann leicht zeigen, dass . Da die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses wir , und somit wächst ohne in . Dies stimmt eindeutig nicht mit überein .

k

$k$

E_{k}

$E_k$

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

1 / 4,

$1/4,$

E_{1} = 3 / 2

$E_1 = 3/2$

E_{k}

$E_k$

k

$k$

P = 1

$P = 1$

Shabbychef

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@ Shabbychef Es ist nicht so offensichtlich für mich. Sie können die Erwartung exponentiell (oder sogar schneller) wachsen lassen, während sich die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens immer noch der Einheit nähert. (Stellen Sie sich zum Beispiel einen stochastischen Prozess vor, bei dem sich die Population in jeder Generation vervierfacht oder vollständig ausstirbt, jede mit gleichen Chancen. Die Erwartung bei Generation n ist 2 ^ n, aber die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens ist 1.) Somit gibt es keinen inhärenten Widerspruch; Ihr Argument braucht etwas zusätzliches.

whuber

1

@shabbychef - danke für die Bearbeitung. Ich wusste nicht, dass wir Embedded TeX für Mathematik verwenden können! @whuber - shabbychefs Aussage ist nur eine Variation meiner Aussage über die Extinktionswahrscheinlichkeit. einfach Erwartungen, anstatt Wahrscheinlichkeiten zu multiplizieren. Gute Arbeit, Scheiße.

E_{k} = E_{1}^{k}

$E_k = E_1^k$

Mike Anderson

1

Das ist klar, Mike, aber worum geht es dir? Sprechen wir nicht darüber, wie man 1 als Lösung ausschließt? Übrigens ist es offensichtlich (durch Inspektion und / oder durch Verständnis des Problems), dass 1 eine Lösung sein wird. Dies reduziert es auf eine quadratische Gleichung, die man leicht vor Ort lösen kann. Das ist jedoch normalerweise nicht der Punkt einer Interviewfrage. Der Fragesteller fragt sich wahrscheinlich, was der Antragsteller über stochastische Prozesse, Brownsche Bewegung, den Ito-Kalkül usw. aktiv weiß und wie er Probleme löst und nicht, ob er diese bestimmte Frage lösen kann.

whuber

3

@shabbychef: Eine Möglichkeit, P = 1 auszuschließen, besteht darin, die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu untersuchen. Der pgf wird erhalten, indem mit t begonnen wird (was eine Anfangspopulation von 1 darstellt) und iterativ t durch (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4 ersetzt wird. Für jeden Startwert von t kleiner als 1 zeigt eine Grafik leicht, dass die Iterationen zu Sqrt (2) -1 konvergieren. Insbesondere bleibt die pgf von 1 fern und zeigt, dass sie nicht überall zu 1 konvergieren kann, was eine vollständige Auslöschung bedeuten würde. Deshalb "ist die 1 nicht plausibel."

Whuber

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Ein Teil der Umschlagberechnung (wörtlich: Ich hatte einen Umschlag auf meinem Schreibtisch herumliegen) ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 42/111 (38%), dass ich nie eine Bevölkerung von 3 erreichen werde.

Ich führte eine schnelle Python-Simulation durch und stellte fest, wie viele Populationen von 20 Generationen abgestorben waren (zu diesem Zeitpunkt starben sie normalerweise aus oder befanden sich in Tausenden). Bei 10000 Läufen starben 4164.

Die Antwort lautet also 42%.

Emile
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9

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2}-1$ ist 0,4142 und stimmt daher mit dem Analyseergebnis von Mike überein. Und +1, weil ich Simulationen

2

Auch +1, weil ich Simulationen mag. Welches wäre meine Antwort gewesen;).

Fomite

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Dies klingt im Zusammenhang mit dem Galton-Watson- Prozess, der ursprünglich formuliert wurde, um das Überleben von Nachnamen zu untersuchen. Die Wahrscheinlichkeit hängt von der erwarteten Anzahl von Subamöben nach einer einzelnen Division ab. In diesem Fall ist die erwartete Zahl was größer als der kritische Wert von , und daher ist die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens geringer als . $3/2,$ $1$ $1$

Wenn man die erwartete Anzahl von Amöben nach Unterteilungen betrachtet, kann man leicht zeigen, dass, wenn die erwartete Anzahl nach einer Unterteilung kleiner als , die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens . Die andere Hälfte des Problems bin ich mir nicht so sicher. $k$ $1$ $1$

shabbychef
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6

Wie die Antwort von Mike Anderson besagt, können Sie die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben einer Amöbenlinie mit der Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Aussterben der Kinderlinie gleichsetzen.

p_{p a r e n t} = \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{3} + \frac{1}{4} p_{c h i l d}^{2} + \frac{1}{4} p_{c h i l d} + \frac{1}{4}

$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$

Wenn Sie dann die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben der Eltern und Kinder gleichsetzen, erhalten Sie die Gleichung:

p = \frac{1}{4} p^{3} + \frac{1}{4} p^{2} + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}

$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$

mit Wurzeln , und . $p=1$ $p=\sqrt{2}-1$ $p=-\sqrt{2}-1$

Es bleibt die Frage, warum die Antwort und nicht . Dies wird zum Beispiel in diesem Duplikat Amoeba Interview gefragt. Frage: Ist das P (N = 0) 1 oder 1/2? . In der Antwort von Shabbychef wird erklärt, dass man als Erwartungswert der Bevölkerungsgröße nach der und sehen kann, ob sie entweder schrumpft oder wächst. $p=\sqrt{2}-1$ $p=1$ $E_k$ $k$

Für mich steckt eine gewisse Indirektheit in der Argumentation dahinter, und es scheint, als sei dies nicht vollständig bewiesen.

Zum Beispiel bemerkt Whuber in einem der Kommentare, dass Sie einen wachsenden Erwartungswert und auch die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben im ten Schritt-Ansatz 1 haben können. Als Beispiel könnten Sie ein katastrophales Ereignis einführen, das die gesamte Amöbenpopulation auslöscht und es tritt mit einiger Wahrscheinlichkeit in jedem Schritt auf. Dann wird die Amöbenlinie mit ziemlicher Sicherheit sterben. Die Erwartung an die Populationsgröße in Schritt wächst jedoch. $E_k$ $k$ $x$ $k$
Darüber hinaus lässt die Antwort offen, was wir von der Situation zu denken haben, wenn (z. B. wenn eine Amöbe sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% oder nicht aufteilt, dann die Linie einer Amöbe mit einer Wahrscheinlichkeit von fast obwohl ) $E_k = 1$ $1$ $E_k= 1$

Alternative Herleitung.

Man beachte, dass die Lösung eine leere Wahrheit sein kann . Wir setzen die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie der Eltern ausgestorben ist, der Abstammungslinie des Kindes gleich. $p=1$

Wenn 'die Wahrscheinlichkeit für das Aussterben der Abstammungslinie des Kindes gleich '. Dann ist 'die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie der Eltern ausgestorben ist, gleich '. $1$
$1$

Dies bedeutet jedoch nicht , dass „die Wahrscheinlichkeit, dass die Abstammungslinie des Kindes ausgestorben ist, beträgt “. Dies ist besonders deutlich, wenn es immer eine Nachwuchszahl ungleich Null geben würde. Stellen Sie sich zB die Gleichung vor: $1$

p = \frac{1}{3} p^{3} + \frac{1}{3} p^{2} + \frac{1}{3} p

$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$

Könnten wir auf etwas andere Weise zu einer Lösung kommen?

Nennen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Linie vor der ten Division ausgestorben ist . Dann haben wir: $p_k$ $k$

p_{1} = \frac{1}{4}

$p_1 = \frac{1}{4}$

und die Wiederholungsbeziehung

p_{k + 1} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} + \frac{1}{4} p_{k} + p_{1}

$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$

oder

δ_{k} = p_{k + 1} - p_{k} = \frac{1}{4} p_{k}^{3} + \frac{1}{4} p_{k}^{2} - \frac{3}{4} p_{k} + p_{1} = f (p_{k})

$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$

Wo also ist, steigt die Wahrscheinlichkeit, vor der ten Teilung ausgestorben zu sein, mit zunehmendem . $f(p_k)>1$ $k$ $k$

Konvergenz zur Wurzel und das Verhältnis zum Erwartungswert

Wenn die Stufe kleiner ist als der Abstand zur Wurzel dann wird diese Zunahme von mit wachsendem den Punkt, an dem nicht . $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ $p_k$ $k$ $f(p_\infty) = 0$

Sie können überprüfen, ob dies (ohne die Wurzel zu überschreiten) immer der Fall ist, wenn die Steigung / Ableitung von über oder gleich , und dies ist wiederum immer der Fall für und Polynome wie mit . $f(p_k)$ $-1$ $0\leq p \leq 1$ $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ $a_k \geq 0$

Mit der Ableitung in den äußersten Punkten gleich und Sie können sehen, dass es ein Minimum zwischen und geben muss, wenn (und damit verbunden muss es eine Wurzel zwischen und , also nein Aussterben). Und im Gegensatz zu wird es keine Wurzel zwischen und , was zu einer gewissen Auslöschung führt (mit Ausnahme des Falls der auftritt, wenn ).

f^{'} (p) = - 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} k p^{k - 1}

$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$

f^{'} (0) = - 1

$f^\prime(0) = -1$

f^{'} (1) = - 1 + E_{1}

$f^\prime(1) = -1 + E_1$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

E_{1} > 1

$E_1>1$

0

$0$

1

$1$

E_{1} \leq 1

$E_1 \leq 1$

0

$0$

1

$1$

f (p) = 0

$f(p) = 0$

a_{1} = 1

$a_1 = 1$

Sextus Empiricus
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Frage in Vorstellungsgesprächen bei Amoeba

Antworten:

Alternative Herleitung.

Konvergenz zur Wurzel und das Verhältnis zum Erwartungswert