Was sind die schärfsten bekannten Schwanzgrenzen für

Sei eine Chi-Quadrat-verteilte Zufallsvariable mit Freiheitsgraden. Was sind die schärfsten bekannten Grenzen für die folgenden Wahrscheinlichkeiten? $X \sim \chi^2_k$ $k$

P [X > t] \leq 1 - δ_{1} (t, k)

$\mathbb{P}[X > t] \leq 1 - \delta_1(t, k)$

und

P [X < z] \leq 1 - δ_{2} (z, k)

$\mathbb{P}[X < z] \leq 1 - \delta_2(z, k)$

wobei und einige Funktionen sind. Hinweise auf relevante Beiträge sind erwünscht. $\delta_1$ $\delta_2$

probability chi-squared mkolar
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Wenn Sie die Deltas als komplementäre unvollständige Gammafunktionen definieren, erhalten Sie exakte Gleichungen. Offensichtlich sind dies die schärfsten Grenzen! Ich vermute, der Sinn dieser Frage ist, dass Ihr Rechner keine unvollständigen Gammas berechnet und Sie nach einer Annäherung suchen, aber dennoch wichtige Informationen weglassen: Wie können wir diese Frage beantworten, bis wir wissen, was Ihr Rechner berechnen kann ?

whuber

Ich bin nicht daran interessiert, eine Obergrenze zu berechnen, sondern etwas zu erhalten, das ich analytisch kontrollieren kann. Die Antwort, die Robin gegeben hat, ist genau das, wonach ich gesucht habe. Die Frage ist, gibt es genauere Grenzen als die von Massart und Laurent?

mkolar

Gamma-Integrale können "analytisch gesteuert" werden. Welche Unterscheidung treffen Sie?

whuber

Antworten:

Die schärfste Grenze, die ich kenne, ist die von Massart und Laurent Lemma 1, S. 1325.

Eine Folge ihrer Bindung ist:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

$P(X-k\geq 2\sqrt{kx}+2x)\leq \exp (-x)$

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

$P(k-X\geq 2\sqrt{kx})\leq \exp (-x)$

Robin Girard
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Die zweite Ungleichung scheint falsch zu sein oder vermisse ich etwas?

mkolar

@mkolar Entschuldigung, jetzt korrigiert

Robin Girard