Wie kann man eine marginale Verteilung aus einer gemeinsamen Verteilung mit einer Abhängigkeit von mehreren Variablen finden?

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Eines der Probleme in meinem Lehrbuch ist wie folgt. Ein zweidimensionaler stochastischer kontinuierlicher Vektor hat die folgende Dichtefunktion:

fX,Y(x,y)={15xy2if 0 < x < 1 and 0 < y < x0otherwise

Zeigen Sie, dass die Randdichtefunktionen und f Y sind:fXfY

fX(x)={5x4if 0 < x < 10otherwise

fY(y)={152y2(1y2)if 0 < y < 10otherwise

Ich verstehe, wie die Dichtefunktion berechnet wird, indem f X , Y von 0 bis x in Bezug auf y integriert wird . Ich bin jedoch total verloren auf f Y , woher kommt das ( 1 - y 2 ) ? Wenn ich in Bezug auf x von 0 auf 1 integriere, bekomme ich nur 15fXfX,Y0xyfY(1y2)01x, und warum ist der Bereich0<y<1?152y20<y<1

Ich habe die Unterstützung für grafisch dargestellt. Alle Werte, bei denen f X , Y > 0 sind, sind blau gefärbt:X,YfX,Y>0

Die Unterstützung für $ X, Y $

soren.qvist
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(X,Y)(x,y)f(x,y)0
@whuber Okay, also habe ich die Unterstützung grafisch dargestellt und ich denke, ich verstehe, warum es 0 <y <1 ist, weil x nur in 0 <x <1 definiert ist und da 0 <y <x ist, haben wir dann natürlich nur y definiert von 0 bis 1, richtig? Aber ich verstehe den (1-y ^ 2) Teil immer noch nicht.
soren.qvist
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fY(y)fX,Y(x,y)y0<y<1xy<x<1
fY(y)=fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx
(1y2)
y0<y<1xy<x<1
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fY(0.4)x(15(0.4)2)x=2.4xx0.410yfY(y)yfY(y)fY(y)

Antworten:

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fY(y)fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)XX=yX=1Y=XX=1

X=yX=1

fY(y)=y1fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx=15y2y1xdx=15y2(12x2|y1)=152y2(1y2).
user3487564
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