Wie kann man eine marginale Verteilung aus einer gemeinsamen Verteilung mit einer Abhängigkeit von mehreren Variablen finden?

Eines der Probleme in meinem Lehrbuch ist wie folgt. Ein zweidimensionaler stochastischer kontinuierlicher Vektor hat die folgende Dichtefunktion:

$$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 15xy^2 & \text{if 0 < x < 1 and 0 < y < x}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

Zeigen Sie, dass die Randdichtefunktionen und f Y sind:$f_X$$f_Y$

$$f_{X}(x)= \begin{cases} 5x^4 & \text{if 0 < x < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

$$f_{Y}(y)= \begin{cases} \scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2(1-y^2) & \text{if 0 < y < 1}\\ 0 & \text{otherwise}\\ \end{cases}$$

Ich verstehe, wie die Dichtefunktion berechnet wird, indem f X , Y von 0 bis x in Bezug auf y integriert wird . Ich bin jedoch total verloren auf f Y , woher kommt das ( 1 - y 2 ) ? Wenn ich in Bezug auf x von 0 auf 1 integriere, bekomme ich nur $f_X$$f_{X,Y}$$0$$x$$y$$f_Y$$(1-y^2)$$0$$1$$x$, und warum ist der Bereich0<y<1?$\scriptsize{\frac{15}{2}}\normalsize y^2$$0 < y < 1$

Ich habe die Unterstützung für grafisch dargestellt. Alle Werte, bei denen f X , Y > 0 sind, sind blau gefärbt:$X,Y$$f_{X,Y}>0$

$f_{Y}(y)$$f_{X,Y}(x,y)$$f_{X,Y}(x,y)$$X$$X=y$$X=1$$Y=X$$X=1$

$X=y$$X=1$

$$f_{Y}(y)= \int_{y}^{1} f_{X,Y}(x,y) dx= \int_{y}^{1} 15xy^{2} dx=15y^{2}\int_{y}^{1} x dx=15y^{2}\left(\frac{1}{2}x^2\Big|_y^1\right)\\=\frac{15}{2}y^2(1-y^2).$$