Was ist mit dem „Level“ einer Zeitreihe gemeint?

In einem Großteil der Literatur, die ich studiere, ist es einer dieser Begriffe, die häufig vorkommen, ohne dass eine strenge Definition gefunden werden muss. Insbesondere wird mir gesagt:

Für zeitindizierte Zufallsvariablen (RVs) wird das additive Zerlegungsmodell wie folgt angegeben$\{X_t\}$

$$X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$$

wo

• ist dielangfristige Ebene, die ein stochastischer Prozess ist und als geglättete Version von { X t } visualisiert werden kann, nicht zu verwechseln mitTrends,die deterministische Muster sind$ll$$\{X_t\}$
• ist dieFluktuationskomponente,die Änderungen deslokalen Niveaus darstellt, angenommenstationärund mit einemmittleren Niveau von Null$fc$
• sindInnovationenund IID-RVs mit mittlerem Nullpunkt$\{\varepsilon_t\}$

Aber was ist der Unterschied in der Bedeutung zwischen Trend- und Langzeitniveau gegenüber lokalem Niveau und mittlerem Niveau ?

Sind die Fluktutationskomponente und die Innovationen, die modellieren , nicht dasselbe. Welches Rauschen ist mit jeder Beobachtung verbunden? Warum also die Dinge komplizieren, indem man beides einbezieht?

Dies hat mit der Reihenfolge der Integration zu tun . Ein stochastischer Prozess soll in der Größenordnung 0 integriert sein , äquivalent X t ~ I ( 0 ), wenn er stationär ist. Wenn X t ~ I ( d ) mit d > 0 , d ∈ N ist , wird der Prozess als in der Ordnung d integriert bezeichnet und ist dann nicht stationär. Die obige Zerlegung versucht, die stationären Komponenten (als Fluktuationskomponente und Innovationen) und die nichtstationäre stochastische Trendkomponente herauszufiltern. EIN$X_t$$0$$X_t$$I(0)$$X_t$$I(d)$$d>0, d \in \mathbb{N}$$d$Der stochastische Trend unterscheidet sich von einem deterministischen Trend , und die Verwendung des Wortes Trend in der Passage ist schlampig.

Das klingt alles komplizierter als es ist. Betrachten wir ein Beispiel. Nehmen ~ ( 0 , σ 2 ) als weißes Rauschen Prozess und lassen ε t sein i i d . Definieren Sie das folgende Verzögerungspolynom$\varepsilon_t$$(0,\sigma^2)$$\varepsilon_t$$iid$

$$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$$

Der Verzögerungsoperator arbeitet mit zeitindizierten Zufallsvariablen als L k ε : = ε t - k . Nehmen wir nun weiter an, dass X t als erzeugt wird$L$$L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$$X_t$

$$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$$

Dann würde unter Verwendung der Terminologie aus Ihrem Auszug das Langzeitniveau durch , die saisonale / Fluktuationskomponente durch C 1 ( L ) ε t und die Innovationen durch ε t definiert . Wie im Auszug beschrieben, sind die Fluktuationskomponente und die Innovationen stationär.$X_{t-1}$$C_1(L)\varepsilon_t$$\varepsilon_t$

Der Grund, warum es so genannt wird, ist ohne weitere Bemerkungen etwas schwer zu erkennen und bezieht sich auf die oben erwähnte Reihenfolge der Integration. Normalerweise stoßen wir nicht auf Prozesse, die in Ordnungen über oder 2 integriert sind . Betrachten wir daher das obige Beispiel für die Integrationsreihenfolge 1 .$1$$2$$1$

Definieren Sie zunächst . u t ist stationär, also u t ~ I ( 0 ) . Jetzt können wir X t schreiben $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$u_t$$u_t$$I(0)$ dies sagt uns, dassXt~I(1) ist, weil seine erste Differenz in der Größenordnung0 integriert ist. Die Bedeutung davon könnte schwer zu verstehen sein, bis man erkennt, wasΔXt=uttatsächlich bedeutet. Es bedeutet, dass man X t umschreiben kann

$$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$$ $X_t$$I(1)$$0$$\Delta X_t = u_t$ Dies mag nicht dramatisch aussehen:E(Xt)=0, schließlich! Die Varianz dieses Prozesses ist jedochnichtendlich und explodiert zu∞. Deshalb sagen wir, dass der Begriff einen stochastischen Trend definiert: Während er nicht deterministisch ist (wie zum Beispiel ein linearer Trend), wirdXterst stationär sein, wenn wir die nichtstationäre Komponente herausgefiltert und vonXtsubtrahiert haben $$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$$ $\mathbb{E}(X_t) = 0$$\infty$$X_t$$X_{t}$. (In diesem Fall hätte, wie zuvor beobachtet, die nichtstationäre Komponente herausgefiltert und wäre stationär.) Wenn Sie dies nicht tun Ihre üblichen statistischen Inferenzverfahren funktionieren nicht mehr, da X t nach dem Invarianzprinzip / dem funktionalen zentralen Grenzwertsatz zu einer Brownschen Bewegung konvergiert. Diese Ergebnisse ersetzen Standard-CLR-Ergebnisse für Autoregressionen, Cointegrationsprobleme usw.$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$X_{t}$